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Mensagempor m0x0 » Seg Set 12, 2011 17:36

Boas a todos,

Já passei muitas horas de volta deste exercício e não consigo lá chegar. Se alguém me puder ajudar agradecia.


Sejam a,b e c pertencentes aos números naturais e ab, bc e ac cubos perfeitos. Mostrar que a, b e c também são cubos perfeitos.

Então, ab é cubo perfeito sse ab=n^{3}

Passo Base:

P(1): ab=1^{3}\Rightarrow a=1^{3},b=1^{3} e c=1^{3} para que bc=1^{3} e ac=1^{3}

P(2): ab=2^{3}=8\Rightarrow a=2^{3}=8,b=1^{3} e c=1^{3} para que bc=1^{3} e ac=8

Mas também: ab=2^{3}=8\Rightarrow a=1^{3},b=2^{3}=8 e c=1^{3} para que bc=8 e ac=1^{3}

Ou ainda: bc=2^{3}=8\Rightarrow a=1^{3},b=1^{3}=8 e c=2^{3}=8 para que bc=8 e ac=8

Passo de Indução:

P(k)=>P(k+1): ab=(k+1)^{3}=(k+1)(k+1)(k+1)=k^{3}+3k^{2}+3k+1

E não consigo passar daqui. Não sei como possa provar.. se calhar por indução não é a melhor maneira?

Abraço!
m0x0
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !

Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.

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