Colégio Naval

por **Joan** » Seg Jul 25, 2011 16:38

Sejam p e q números reais positicos tais que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{\sqrt[]{2010}}$ . Qual o valor mínimo do produto pq?

oq consegui fazer foi somente o inicio e depois nao sei oq faço:

$\frac{p+q}{pq} = \frac{1}{\sqrt[]{2010}} \rightarrow p+q = \frac{pq}{\sqrt[]{2010}}$

Infelismente nao sei oq fazer mais...

desde já grato.

por **Guill** » Seg Jul 25, 2011 17:17

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}$

$\frac{p+q}{pq}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}$

Racionalizando:

$\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}$

pq=2010

por **Joan** » Seg Jul 25, 2011 18:04

Guill escreveu: $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}$

$\frac{p+q}{pq}=\frac{1}{\sqrt[]{2010}}$

Racionalizando:

$\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}$

Amigo agradeço a boa vontade, mais no gabarito da prova tá a resposta como 8040. oq pode ta errado?

por **MarceloFantini** » Ter Jul 26, 2011 11:04

Continuando o que o colega Guill fez, temos:

$p+q = \frac{pq}{\sqrt{2010}}$

Mas sabemos que $\frac{p+q}{2} \geq \sqrt{pq}$ . Portanto, $\frac{pq}{\sqrt{2010}} \geq 2 \sqrt{pq}$ e segue que $\sqrt{pq} \geq 2 \sqrt{2010}$ . Finalmente, $pq \geq 4 \cdot 2010 = 8040$ , e a resposta é que o valor mínimo de

é 8040.

por **LuizAquino** » Ter Jul 26, 2011 11:25

Guill escreveu:Racionalizando:

$\frac{p+q}{pq}=\frac{\sqrt[]{2010}}{2010}$

Joan escreveu:Amigo agradeço a boa vontade, mais no gabarito da prova tá a resposta como 8040. oq pode ta errado?

O erro na solução de Guill está no fato de que se $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , então não necessariamente a = c e b = d.

Por exemplo, se a = 5 e b = 10, temos que $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ . Entretanto, note que $a\neq 1$ e $b\neq 2$ .

por **Joan** » Ter Jul 26, 2011 14:55

Nao comprendi, mais obrigado a todos pela ajuda.

por **Fabricio dalla** » Ter Jul 26, 2011 16:47

Mas sabemos que $\frac{p+q}{2}\geq\sqrt[2]{pq}$

eu n entendi o que Marcelo Fantine fez.ele pré supôs fazendo aquela comparaçao de que a media aritimetica e maior que media geometrica pra conseguir resolver a questão ?

por **MarceloFantini** » Ter Jul 26, 2011 16:58

Isso é um teorema importante, que a média aritmética é sempre maior ou igual a média geométrica.

por **LuizAquino** » Ter Jul 26, 2011 21:35

Fabricio dalla escreveu:eu n entendi o que Marcelo Fantine fez.ele pré supôs fazendo aquela comparaçao de que a media aritimetica e maior que media geometrica pra conseguir resolver a questão ?

Dados dois números reais positivos, é fácil verificar que $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ .

Em outras palavras, como escreveu o colega Fantini, essa desigualdade nos diz que a média aritmética entre dois números é sempre maior ou igual do que a média geométrica entre eles.

Para justificar essa desigualdade, começamos observando o fato de que $\left(\sqrt{a} - \sqrt{b}\right)^2 \geq 0$ , para quaisquer a e b reais positivos.

Desenvolvendo o produto notável, obtemos:

$\left(\sqrt{a}\right)^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + \left(\sqrt{b}\right)^2 \geq 0$

Mas, isso é o mesmo que:

$a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

Por fim, podemos reescrever essa desigualdade como:

$\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab}$

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