por m0x0 » Seg Jul 25, 2011 21:48
Boas a todos,
Estou a estudar Teoria dos Anéis e cheguei a uma dúvida:
Seja A o conjunto dos números reais da forma:
![a+b\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/9d7795e4612959df89741048ec0fbe05.png "a+b\sqrt[2]{2}")
, com a e b inteiros e com as duas operações habituais (adição e produto):
a) Mostrar que A é um subanel do corpo dos complexos.
Com
![(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re](/latexrender/pictures/7389dff144d2b5941f57f8509de25e1f.png "(a+b\sqrt[2]{2})\in\Re")
e
![({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})\in\Re](/latexrender/pictures/14adcfc88d5a825586f4b31e74c3dc28.png "({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})\in\Re")
temos:
![(a+b\sqrt[2]{2})+({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a+{a}_{1})+\sqrt[2]{2}(b+{b}_{1}))\in\Re](/latexrender/pictures/ba4af066487b09f419247fd434dccfc2.png "(a+b\sqrt[2]{2})+({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a+{a}_{1})+\sqrt[2]{2}(b+{b}_{1}))\in\Re")
![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a{a}_{1}+2b{b}_{1})+\sqrt[2]{2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in\Re](/latexrender/pictures/9afc2d8c4fe60ae5a3cf44874215001b.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=((a{a}_{1}+2b{b}_{1})+\sqrt[2]{2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in\Re")
Logo A é subanel do corpo dos complexos.
b) Será A um ideal do mesmo corpo?
Com
e
![({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})\in](/latexrender/pictures/033656da5146028b6e9e225c08477f47.png "({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})\in")
Complexos temos:
![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})=((a{a}_{1}-2b{b}_{1})+\sqrt[2]{-2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in](/latexrender/pictures/fa04d78d30d5999c014d3d0f50400bee.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{-2})=((a{a}_{1}-2b{b}_{1})+\sqrt[2]{-2}(a{b}_{1}+{a}_{1}b))\in")
Complexos
Logo A não é ideal dos Complexos.
c) Averiguar se A é um domínio de integridade, se é corpo e qual o ideal do anel A gerado por
![\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/a8f8ae3924f6c44624745ca9e588cae3.png "\sqrt[2]{2}")
Para ser Domínio de Integridade, não pode ter divisores de zero, então:
![(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0\Rightarrow(a+b\sqrt[2]{2})=0\cup({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0](/latexrender/pictures/6e0847f2389fa91124f3bd9bc507cbe8.png "(a+b\sqrt[2]{2})({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0\Rightarrow(a+b\sqrt[2]{2})=0\cup({a}_{1}+{b}_{1}\sqrt[2]{2})=0")
E para ser Corpo, para todo o elemento não nulo, tem que ter invertível, então:
![(a+b\sqrt[2]{2}){(a+b\sqrt[2]{2})^{-1}=1](/latexrender/pictures/700377e6024ccb9006225c20436a3cf7.png "(a+b\sqrt[2]{2}){(a+b\sqrt[2]{2})^{-1}=1")
O ideal gerado será:
![(a+b\sqrt[2]{2})\sqrt[2]{2}=2b+a\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/f1024ac598b79faf4fb1ac9858856fa5.png "(a+b\sqrt[2]{2})\sqrt[2]{2}=2b+a\sqrt[2]{2}")
, ou seja, serão os números da forma
![2a+b\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/41f28975b8c61c937712ac7064937382.png "2a+b\sqrt[2]{2}")
ou <2A> ?!
(E não passo daqui.. agradecia ajuda se possível nas demonstrações se é Domínio de Integridade, se é Corpo e como se descobre o ideal) :(
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m0x0
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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