Exercios-Algebra

por **Renks** » Dom Fev 27, 2011 16:08

(puc-rio)Considere o sistema ax+10y=25

15x+by=15

a)Determine os valores de a e b tais que o sistema tenha mais de uma soluçao.
gabarito a=25 b=6

tentei usolar um temo e subistitur na equaçao mais nao sei como cancelo x,y ou as incognitas

(UFF)A confeitaria "cara melada" é conhecida por suas famosas balas de leite, vendidas em pacotes. No Natal,essa confeitaria fez a seguinte promoçao:colocou, em cada pacote,20% a mais de balas e aumentou em 8% o preço do pacote.Determine a variaçao,em porcentagem, que essa promoçao acarretou no preço de cada bala do pacote.
Gabarito Reduçao de 10%

tentei considerar que cada pacote tem 100 balas,logo 20% a mais é 120 balas . mas quando se trata de variaçao da porcentagem tenho duvivas em como montar uma equaçao.

O produto $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1\frac{1}{9} \right)\left(1-\frac{1}{16} \right)...\left(1\frac{1}{{2001}^{2}} \right)= \frac{a}{b}. A Soma a+b e igual a: Gabarito 3002$

nao encontrei um caminho para resolver este exercicio

(Puc)O produto P= $\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}-\sqrt[]{7} \right)\left(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)\left(-\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)$

Gabarito 104

tentei colocar todos os termo dentro de uma unica raiz mas ao efetuar a multiplicaçao o resultados nao bate acho que nao estou indo pelo caminho correto

por **Renato_RJ** » Qua Mar 02, 2011 00:23

Boa noite Renks...

O sistema da primeira questão é bem simples, se ele deseja ter mais de uma solução o determinante da matriz formada pelos coeficientes tem que dar zero, logo você terá:

$\begin{vmatrix} a & 10 \\ 15 & d \end{vmatrix} \Rightarrow \, ab - 150 = 0 \Rightarrow \, ab = 150$

Perfeito, vamos guardar esse valor, como o sistema possui mais de uma solução podemos dizer que essas duas equações definem duas retas que pertencem ao mesmo plano e são linearmente dependentes, isto é, uma é múltipla da outra, para fazer isso vamos isolar somente os coeficientes e o resultado de cada uma em um grupo separado, veja:

$(a, 10, 25) = (\alpha 15, \alpha b, \alpha 15) \Rightarrow \, 25 = \alpha 15 \Rightarrow \, \alpha = \frac{25}{15} \Rightarrow \, \alpha = \frac{5}{3}$

Sabendo o valor de $\alpha$ temos como determinar a e b, veja:

$a = \alpha 15 = 25$

$b = \frac{10}{\alpha} \Rightarrow \, b = 6$

Agora vamos testar se o determinante será zero mesmo:

$ab = 150 \Rightarrow \, 25 \cdot 6 = 150$

Pronto, o sistema está completo...

Quanto ao problema das balas, vamos usar um pouco da lógica.. Façamos x a bala individual e p o preço do pacote, então teremos que um pacote possui n balas, logo:

$n \cdot x = p \Rightarrow \, x = \frac{p}{n}$

A fração é o preço individual de cada bala que está no pacote.. Se houve um aumento de 20% na quantidade de balas, para manter a igualdade, deveríamos aumentar 20% no preço do pacote, mas o que acontece é que temos um aumento de 8% no preço total, logo teremos o seguinte:

1,2 nx = 1,08p - 1,2p

Isto quer dizer que cortamos 12% do preço total, então teremos, para cada bala:

$x = \frac{- 0,12p}{1,2n} \Rightarrow \, x = - 0,1 \frac{p}{n}$

Sendo $\frac{p}{n}$ o preço individual de cada bala, então teremos uma redução de 10% no preço individual de cada bala....

[ ]'s
Renato.

por **LuizAquino** » Qua Mar 02, 2011 10:46

Renks escreveu:Seja produto $\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{9} \right)\left(1-\frac{1}{16} \right)\ldots \left(1 - \frac{1}{{2001}^{2}} \right)= \frac{a}{b}$ . A Soma a+b e igual a: Gabarito 3002

Note que cada fator é da forma $1 - \frac{1}{i^2}$ , com i=2, 3, 4, ..., 2001. Mas, isso é o mesmo que $\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}$ . Portanto o produto é o mesmo que:

$\frac{3\cdot 1}{4} \cdot \frac{4\cdot 2}{9} \cdot \frac{5 \cdot 3}{16} \cdot \frac{6\cdot 4}{25} \cdot \frac{7 \cdot 5}{36} \cdot \frac{8\cdot 6}{49} \cdot \ldots \cdot \frac{2000\cdot 2002}{4004001}$

Podemos então arrumar essa multiplicação como a seguir:

$\frac{(3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 2000)\cdot (1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2002)}{4\cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36 \cdot 49 \cdot \ldots \cdot 4004001}$

$\frac{(3\cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 2000)^2 \cdot (1\cdot 2 \cdot 2001 \cdot 2002)}{4 \cdot (3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \ldots \cdot 2000)^2 \cdot 2001^2}$

$\frac{1\cdot 2 \cdot 2001 \cdot 2002}{4 \cdot 2001^2}$

$\frac{1001}{2001}$

Portanto, a=1001 e b=2001, de onde obtemos que a+b=3002.

por **LuizAquino** » Qua Mar 02, 2011 11:02

Renks escreveu:(Puc)O produto P= $\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}-\sqrt[]{7} \right)\left(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)\left(-\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}+\sqrt[]{7} \right)$
Gabarito: 104

Basicamente, vamos usar os produtos notáveis:
(i) a^2-b^2=(a+b)(a-b)

(ii)

(iii)

$\left[\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}\right)+\sqrt[]{7} \right]\left[\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}\right)-\sqrt[]{7} \right]\left[\sqrt[]{7} + \left(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{6}\right)\right]\left[\sqrt[]{7} -\left(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{6}\right)\right] =$

$= \left[\left(\sqrt[]{5}+\sqrt[]{6}\right)^2 - \sqrt[]{7}^2 \right]\left[\sqrt[]{7}^2 - \left(\sqrt[]{5}-\sqrt[]{6}\right)^2\right]\right)$

$= \left( 2\sqrt{30} + 4\right)\left( 2\sqrt{30} - 4\right)$

= 120 - 16 = 104