Raiz oitava de 16

por **alexandre32100** » Qua Nov 17, 2010 15:55

Esses tempos me deparei com o problema: "Qual o valor de (1-i)^8

?". Não foi difícil chegar a solução

.
Mas, pensando de forma inversa, temos que $\sqrt[8]{16}=\pm\sqrt{2}$ , porém, como foi visto, $\sqrt[8]{16}=\pm(1-i)$ , ou seja, a equação $\sqrt[8]{16}=x$ tem ao menos quatro soluções $S=\{\sqrt{2},-\sqrt{2},1-i,-1+i\}$ .
Queria saber qual o procedimento que devo adotar para encontrar, por exemplo, o resultado $\sqrt[8]{16}$ , tanto no conjunto dos números reais, quanto no dos números complexos.

por **Molina** » Qui Nov 18, 2010 14:51

Boa tarde, Alexandre.

As raízes reais podem ser obtidas assim:

$\sqrt[8]{16}=x$

${16}^{\frac{1}{8}}=x$

${(2^4)}^{\frac{1}{8}}=x$

${2}^{\frac{4}{8}}=x$

${2}^{\frac{1}{2}}=x$

$({2}^{\frac{1}{2}})^2=x^2$

$x=\pm \sqrt{2}$

:y:

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 15:15

taí a fórmula de Moivre, para cálculo de raízes complexas:

$\sqrt[n] z = \sqrt[n]|z| [cos(\frac{\theta+2k\pi}{n}) + i sen (\frac{\theta+2k\pi}{n})]$

onde:

z é um número complexo;
k é um número natural positivo, que varia de 0 até n-1;
n é a raiz (no seu caso, raiz oitava, n = 8)
teta é o argumento de z, ou seja, o ângulo, em radianos, que o segmento que liga o ponto no plano complexo que representa z e a origem forma com o eixo x.

note também que $\sqrt[n]|z|$ é a raiz real positiva do módulo, não complexa.

agora só substituir valores:

k = 0

$\sqrt[8] 16 = \sqrt[8]|16| [cos(\frac{0 + 0\pi}{8}) + i sen (\frac{0 + 0\pi}{8})]$

ficamos com:

$\sqrt[8] 16 = \sqrt[2] 2 (1 + 0) = \sqrt 2$

Essa é a raiz para k = 0, haverão ainda outras sete raízes, para as quais k = 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Tenta calcular usando esse mesmo método

por **alexandre32100** » Qui Nov 18, 2010 16:42

molina escreveu: $x=\pm \sqrt{2}$

Sim, Molina, mas como mostrou o Victor, temos além destas, mais seis raizes complexas.

victoreis1 escreveu:taí a fórmula de Moivre, para cálculo de raízes complexas:

$\sqrt[n] z = \sqrt[n]|z| [cos(\frac{\theta+2k\pi}{n}) + i sen (\frac{\theta+2k\pi}{n})]$

onde:

é um número complexo;
é um número natural positivo, que varia de até ;
é a raiz (no seu caso, raiz oitava, )
teta é o argumento de , ou seja, o ângulo, em radianos, que o segmento que liga o ponto no plano complexo que representa e a origem forma com o eixo x.

Valeu cara, realmente esta fórmula é bastante útil neste, não a conhecia. Tinha criado um algoritmo para calcular as raizes complexas de um número e cheguei ao conjunto $S=\{\sqrt{2},-\sqrt{2},\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i,-1-i,-1+i,1-i,1+i\}$ , mas creio que com a fórmula fica mais fácil.

por **victoreis1** » Qui Nov 18, 2010 17:07

isso.. note também que as raízes, dispostas no plano complexo, têm o mesmo módulo (raiz de 2) e formam um octágono regular..

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