Provas de Matematica UNIFEI 2008

por **WiLLKun** » Qua Jan 23, 2008 01:21

Aeee gente
blz?
disculpa ae a demora pra postar, mas eh tva sem animo pra pensar em provas e respostas
mas tah ai, tanto matematica da primeira prova qto a matematica da segunda prova
http://img89.imageshack.us/img89/1457/digitalizar0003ze5.gif
http://img231.imageshack.us/img231/2451/digitalizar0004fv4.gif
http://img177.imageshack.us/img177/2655/digitalizar0001ah7.gif
http://img255.imageshack.us/img255/9025/digitalizar0002yl7.gif

tah ai os scans das provas, eu soh tive um poko de cuidado pra apagar respostas e resoluçoes, pq pode ter alguma mto ridicula e nao qro virar perola de vestibular, estava com um poko de sono no segundo dia, foram 2 provas em horario diferentes, redaçao de manhan e fisica+mat de tarde

flww ae... divirtam-se resolvendo

por **admin** » Qua Jan 23, 2008 13:41

Por ser uma resolução antecipada, estejam a vontade para escreverem comentários e/ou eventuais correções, assim como postarem suas próprias resoluções. Na ocasião do gabarito oficial, faremos uma comparação das respostas.

Questão 1)
Um pai tem, hoje, 50 anos e os seus três filhos têm 5, 7 e 10 anos, respectivamente. Daqui a quantos anos a soma das idades dos três filhos será igual à idade do pai?

Resolução)

Idéia da situação:
$\begin{tabular}{|r|r|r|} \hline &presente&futuro\\ \hline\hline pai&50&50+x\\ filhos&5+7+10&5+x+7+x+10+x\\ \hline \end{tabular}$
Sendo

o número de anos decorridos.

Queremos que:
50+x = 5+7+10+3x

$x = \frac{28}{2}$

x=14

Resposta: daqui a 14 anos.

Conferindo: o pai terá 64 anos, assim como a soma das idades dos filhos (19, 21 e 24).

por **admin** » Qua Jan 23, 2008 15:53

Questão 2)
Durante quanto tempo deve ser aplicado um determinado capital, a juros simples e à taxa de 0,75% ao mês, para que o montante, no final da aplicação, seja igual a $\frac{9}{5}$ do capital aplicado?

Resolução)

Informações:
-juros simples
C: capital inicial
J: total acumulado de juros no período
t: número de meses
i: taxa de juros
M: montante final

t=?
i=0,75% a.m.
$M=\frac{9}{5}C$

$J = C \cdot i \cdot t$

M = C + J

Condição do problema:
$M = \frac{9}{5}C$

$C + J = \frac{9}{5}C$

$C + C \cdot i \cdot t = \frac{9}{5}C$

$\div C$

$1 + i \cdot t = \frac{9}{5}$

$i \cdot t = \frac{9}{5} - 1 = \frac{4}{5}$

$t = \frac{4}{5i}$

$t = \frac{4}{5i} = \frac{4}{5 \cdot { \frac{0,75}{100}}} = \frac{4\cdot 100}{5 \cdot 0,75}$

$t \approx 107$ meses

por **admin** » Qua Jan 23, 2008 21:57

Questão 3)
Para que valores de $m\in\Re$ a equação x^2+(2m+1)x+(m-2)=0

admite raízes reais, distintas e ambas negativas?

Resolução)

Condições:
i) raízes reais
ii) raízes distintas
iii) ambas negativas

Através do discriminante, verificamos as condições i e ii.
$\Delta = (2m+1)^2-4(m-2)$

$\Delta = 4m^2+\cancel{4m}+1-\cancel{4m}$

$\Delta = 4m^2+1$

O discriminante em

, representa outra função do segundo grau que não possui raízes reais (possui um par de raízes complexas) e sua parábola é côncava para cima. Ou seja, $\Delta$ é sempre positivo:
$\Delta = 4m^2+1 > 0$
De modo que valerá i e ii para todo $m\in\Re$ .

Vamos analisar iii através da soma e do produto das raízes.

Soma:
$x_1 + x_2 = \frac{-(2m+1)}{1}$

Produto:
$x_1 \cdot x_2 = \frac{m-2}{1}$

Mais detalhes sobre soma e produto das raízes de uma função do segundo grau:
viewtopic.php?f=97&t=127&p=216#p216

Para que as raízes sejam ambas negativas, a soma deverá ser negativa e seu produto positivo:
$\left\{ \begin{matrix} -(2m+1) &< 0 \\ m-2 &> 0 \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} 2m+1 &> 0 \\ m &> 2 \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} 2m &> -1 \\ m &> 2 \end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix} m &> -\frac12 \\ m &> 2 \end{matrix} \right.$

Da intersecção (e):
m > 2