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por **adauto martins** » Qui Jul 29, 2021 17:09

(ITA-1960)verifique se sao verdadeiras ou falsas as seguintes afirmaçoes.
demonstrar que se a equaçao x^3+ax+b=0

, $a\neq0$ , $b\neq0$ , a e b reais,tiver duas raizes iguais

sera sempre positivo.

por **adauto martins** » Qui Jul 29, 2021 17:38

soluçao

para que um polinomio tenha 2 raizes iguais(multiplicidade 2),devemos ter que:

p'(x)=0

e $p''(x)\neq 0$ ,onde p'(x),p''(x) sao respectivamente as derivadas primeira e segunda de p(x).

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$p'(x)=3x^2+a=0...p''(x)=6x,x\neq 0$

tomemos

$p'(x)=0\Rightarrow 3x^2+a=0\Rightarrow x=(+/-)(\sqrt[]{3a}/3)i$

vamos tomar
$x=(\sqrt[]{3a}/3)i$
e depois analogamente p/ $x=-(\sqrt[]{3a}/3)i$

entao

$p(\sqrt[]({3}a/3)i)=({(\sqrt[]{3}a/3)i})^{3}+a(\sqrt[]{3}a/3)i+b=0$

$\sqrt[](({3a}/3){i})^{2}.(\sqrt[]{3a}/3)i+a(\sqrt[]{3a}/3)i+b=0... ...=4a^3+27b^2\Rightarrow 4a^3=-27b^2\prec 0\Rightarrow a^3=a^2.a\prec 0 \Rightarrow a\prec 0$

fazendo o analogo para
$p(-\sqrt[]{3a}/3)=0\Rightarrow 4a^3+27p^2=0$
que conclui-se que $a\prec 0$
(fica como exercicio)

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