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Última mensagem por Janayna
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por manuoliveira » Ter Out 23, 2012 20:34
Ache o comprimento do arco da curva definida por x = t³/3 e y = t²/2 do ponto A = (0, 0) ao ponto B = (1/3, 1/2)
Agradeço desde já quem puder ajudar!!!
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manuoliveira
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por manuoliveira » Ter Out 23, 2012 20:44
Cheguei ao resultado 1/3 mas não tenho gabarito. Gostaria de saber se confere. Caso não, como resolver?
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manuoliveira
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por young_jedi » Ter Out 23, 2012 20:53
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young_jedi
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por Russman » Ter Out 23, 2012 20:59
Suponhamos que o comprimento da curva entre os pontos
![A A](/latexrender/pictures/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
e
![B B](/latexrender/pictures/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
seja
![S S](/latexrender/pictures/5dbc98dcc983a70728bd082d1a47546e.png)
. Vamos dividir esse arco em
![n n](/latexrender/pictures/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png)
pequenos intervalos
![\Delta S \Delta S](/latexrender/pictures/92bbde703193217f1110b0ab9c60810b.png)
de forma que
![\Delta S^2 = \Delta x^2+\Delta y^2 \Delta S^2 = \Delta x^2+\Delta y^2](/latexrender/pictures/aa4d2068a13a15b1eeacc4675a23bded.png)
.
Quanto menores forem estes intervalos mais exato se torna essa aproximação de forma que
![\lim_{n\rightarrow \infty }\Delta S=ds \Rightarrow ds^2=dx^2+dy^2 \lim_{n\rightarrow \infty }\Delta S=ds \Rightarrow ds^2=dx^2+dy^2](/latexrender/pictures/9deaf64480377200ba0ddf277352d432.png)
.
Como
![S=\int_{A}^{B}ds S=\int_{A}^{B}ds](/latexrender/pictures/df30460147284846d68ede2454f0239d.png)
basta tomarmos
![ds=\sqrt{dx^2+dy^2} ds=\sqrt{dx^2+dy^2}](/latexrender/pictures/a2d099f94376b702fdfe47c0b953364e.png)
e integrar.
Veja que a curva esta parametrizada, isto é,
![x=x(t) x=x(t)](/latexrender/pictures/6cc7137dd3f51a1ae1acc936aa6f0113.png)
e
![y=y(t) y=y(t)](/latexrender/pictures/0d3ddcf99f31e92ec8056a99247666f2.png)
de onde
![dx = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}dt = \left (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{t^3}{3} \right )dt = t^2dt dx = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}dt = \left (\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\frac{t^3}{3} \right )dt = t^2dt](/latexrender/pictures/a0bfdaa35fac4d4e336657676890e526.png)
e portanto
![ds^2 = (t^2dt)^2 + (tdt)^2 = (t^4 + t^2)dt^2\Rightarrow ds = dt \sqrt{t^4+t^2} ds^2 = (t^2dt)^2 + (tdt)^2 = (t^4 + t^2)dt^2\Rightarrow ds = dt \sqrt{t^4+t^2}](/latexrender/pictures/7c59c86aff3cd4365ff10a09739dd508.png)
.
O ponto
![A A](/latexrender/pictures/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
é obtido tomando
![t=0 t=0](/latexrender/pictures/3e8f7b0adf6d7024b951f29a18225e4a.png)
e o
![B B](/latexrender/pictures/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
tomando
![t=1 t=1](/latexrender/pictures/b73c3280b6f85a6ac520af103083f535.png)
. Finalmente,
![S=\int_{0}^{1} dt \sqrt{t^4+t^2} S=\int_{0}^{1} dt \sqrt{t^4+t^2}](/latexrender/pictures/f286c9e2f7bf722a5dc4d69e8732244a.png)
.
Agora basta integral. (:
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por manuoliveira » Ter Out 23, 2012 21:43
Obrigada!!
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Se chegou até aqui, provavelmente tenha interesse pelos tópicos relacionados abaixo.
Aproveite a leitura. Bons estudos!
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- comprimento do arco
por liviabgomes » Seg Mai 30, 2011 16:11
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- Última mensagem por liviabgomes
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Qua Jun 01, 2011 15:03
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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- comprimento de arco
por manuoliveira » Ter Out 23, 2012 19:43
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Ter Out 23, 2012 19:43
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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- comprimento do arco
por VenomForm » Seg Mai 20, 2013 13:29
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Seg Mai 20, 2013 13:29
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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- Calculo do comprimento do arco.
por brunojorge29 » Seg Abr 23, 2012 11:21
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- Última mensagem por Russman
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Seg Abr 23, 2012 22:32
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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- [Integral] Comprimento de Arco
por klueger » Qui Mar 21, 2013 10:19
- 5 Respostas
- 3033 Exibições
- Última mensagem por Russman
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Qui Mar 21, 2013 12:54
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
[calculo] derivada
Autor:
beel - Seg Out 24, 2011 16:59
Para derivar a função
(16-2x)(21-x).x
como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?
Assunto:
[calculo] derivada
Autor:
MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15
Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.
Assunto:
[calculo] derivada
Autor:
wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26
Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um
Assunto:
[calculo] derivada
Autor:
wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31
derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)
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