[Integrais múltiplas] Achar a função, o volume, e a area su

por **brunojorge29** » Dom Out 14, 2012 11:19

O meu professor jogou essa questão e disse que ia cair uma parecida na prova. A questão dela é o seguinte. Encontrar a função desse duto e em seguida dizer qual o volume e a área superficial.

Obs: se vcs me ajudarem pelo menos na função o resto eu consigo fazer.

por **young_jedi** » Dom Out 14, 2012 12:50

nos podemos considerar que ele é composto de dois semi-cilindors e que um deles esta sobre o exio x e o outro sobre o eixo x

sendo assim aquele que esta sobre o eixo x tem equação de superficie dada por

$y^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$

ja aquele que esta sobre o exio y tem equação

$x^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2$

mais repare que a uma região de intersecção entre eles onde devemos determinar o limite de cada plano
e intersecção deles são determindas pelas retas

x=y

e

no plano xy, portanto a equação que descreve a superficie fica

$\begin{cases}x^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2&|y|\geq|x|\\y^2+z^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2&|y|<|x|\end{cases}$

por **brunojorge29** » Dom Out 14, 2012 14:14

Nossa essa função ficou muito complicada pra eu entender. Tem como voce me explicar como ficaria a integral dupla pra calcular o volume e a area superficial?

por **young_jedi** » Dom Out 14, 2012 20:28

então a melhor maneira que eu encontrei para fazer é primeiro encontrar o volume da intersecção dos ciliindros
dividindo em 4 partes iguais, se imaginarmos um dos cilindros entorno do eixo z e o outro cilindro entorno do eixo y
e calcularmos o volume da intersecção deles no primeiro octante, temos a integral

$4\int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}}\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}dxdy$

resolvendo em função de x

$4\int_{0}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2dxdy$

resolvendo em função de y

$4\left(\left(\frac{3}{2}\right)^3-\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3\right)=9$

este é o volume da intersecção deles

calculando o volume de cada semi cilindro e subtraindo o volume da intersecção tem-se o volume do solido.

por **brunojorge29** » Qua Out 17, 2012 09:11

Pro calculo da area superficial ficaria a mesma coisa?

por **young_jedi** » Qua Out 17, 2012 11:24

Para a area eu calcularia a area dos semi-cilindros e depois o da intersecção deles
a area na intersecção poderia ser claculada dividindo a intersecção em quatro partes iguais , então calculando uma das partes teria a area total.

pegando como base o cilindro sobre o eixo x temos que sua equação é dada por

$z=\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}$

sendo que isso é valido para para y<x e -y>-x

podemos dividir este setor em infinitos arcos de comprimento ds para cada valor de x

assim calculando a area teriamos

$2.\int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{x}ds.dx$

mais temos que ds é

$\sqrt{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^2}dy$

então a integral dupla da area fica

$2.\int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{x}\sqrt{1+\left(\frac{dz}{dy}\right)^2}dy.dx$

calculando a derivada e substituindo

$2.\int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{0}^{x}\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}}dy.dx$

fazendo uma troca de variaveis na ordem de integração

$2.\int_{0}^{\frac{3}{2}}\int_{y}^{\frac{3}{2}}\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}}dx.dy$

integrando com relação a x

$2.\frac{3}{2}.\left(\int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}}dy-\int_{0}^{\frac{3}{2}}\frac{y}{\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2-y^2}}dy\right)$

a primeira integrla se calcula por substituição tirgonometrica ja a segunda por substituição de variavel calculando voce vai ter uma area das quatros interesecções, multiplicando por 4 tera a area da região central, fora dessa região pode se utilizar a formula do calculo da area do cilindro, somando as areas tem a area total da figura.

por **brunojorge29** » Qui Out 18, 2012 10:42

Naquela sua segunda resposta, você disse que calcularíamos a interseção de dois cilindros, porem a sua função ficou a de um semi-cilindro. Voce errou ao dizer que era um cilindro? E se vc estiver certo, como eu quero apenas a interseção de dois semi-cilindros, entao eu deveria multiplicar por 2 nao é?

por **young_jedi** » Qui Out 18, 2012 11:20

eu errei ao dizer que era a intersecção de cilindro, é na verdade a intersecção de semi-cilindros
se fosse cilindros eu multiplicaria por 8 como são semi-cilindros eu multiliquei por 4

por **brunojorge29** » Qui Out 18, 2012 17:15

Voce es me ajudando muito, estou entendendo bastante. Mas algumas duvidas aparecem. Na sua segunda resposta vc fez a integração na seguinte ordem (dx dy). Não deveria ser (dy dx). E se não. pq?

por **young_jedi** » Qui Out 18, 2012 18:05

Então eu montei a integral pra calcular primeiro em relação a y
mais ai depois eu mudei ela pra calcular em x primeiro, se voce reparar eu mudei os limites de integração, mudar a ordem em que voce faz a integral mas respeitando a região de integração não altera seu valor.
eu fiz isto proque desta maneira é mais facil calculoar a integral, se voce integrar primeiro em y, quando voce for integrar em x vai surgir uma função complicada de se integrar, integrando em x primeiro torna mais facil.

por **brunojorge29** » Qua Out 24, 2012 15:13

Cara o meu professor pediu pra fazer um duto com as mesmas dimensoes do semicilindro so que dessa vez ele queria que fosse uma parabola. Se esse do cilindro ja é dificil imagine uma com entrada de parabola. Me ajude ae. Como ficaria a equação e a interceção?

por **young_jedi** » Qua Out 24, 2012 16:09

Não sei exatamente como é a parabola que o seu professor quer, mais poderia ser assim

sobre o eixo x ficaria

$z=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}y^2$

e sobre o eixo x

$z=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^2$

a intersecção deles é onde |x|=|y|

portanto a função que descreve a superficie seria

$\begin{cases}z=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}y^2&|x|\geq|y|\\z=\frac{3}{2}-\frac{2}{3}x^2&|x|<|y|\end{cases}$