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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 06:57
Senhores, bom dia. Nessa semana que se passou eu iniciei meus estudos de números complexos e, mediante o exercício em que lhes peço ajuda a seguir eu travei. Sequer consegui desenvolver um esboço de resolução. Se alguém aqui puder gentilmente me 'dar uma luz':
Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, exercício 16, pag 11:
Quais os números complexos x e y para os quais : x + yi = i e xi + y = 2i - 1 .
Seguindo o raciocínio que eu aprendi a ter até agora pelas coisas ditas pelo livro eu consideraria isso daí duas funções separadas e diria que para a primeira, considerando que real é igual a real e imaginário é igual a imaginário, diria que:
x = 0 e y = 1 ; na segunda eu diria que : x = 2 e y = -1 entretanto o gabarito é único e me apresenta a seguinte resposta:
x = 1 + i ; y = i
Logo em seguida vem o exercício 18, na pag 12:
Qual a condição para que o número
, a e b reais, seja estritamente negativo?
Nesse aí eu parti do seguinte princípio:
, então eu cheguei a algo como
; então:
, sendo essa última menor que zero, pois a condição do enunciado é que sejam menores que zero, então:
; disso eu consigo dizer somente que ab tem que ser diferentes de zero;
já na resposta do livro o gabarito também chega a conclusão de que a = +-b ; essa última parte eu não sei como ele alcançou ou se minhas ponderações até aqui também foram corretas.
Obrigado a quem ler e se interessar a responder. Att, Rafael.
Editado pela última vez por
Vennom em Sáb Jul 21, 2012 07:23, em um total de 1 vez.
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Vennom
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 07:21
Vennom:
A relação
é um sistema linear de 2 incógnitas,
e
, de 2 equações. Portanto o par
da 1° equação é identico ao par
da segunda equação.
A sua estimativa não estaria errada se considerássemos equações independentes. Mas não são.
A solução deste sistema segue como a de um sistema linear a variáveis reais.
Eu costumo resolver da seguinte forma: isole uma das incógnitas em uma equação e aplique na outra. Calculada essa incógnita, calcule a outra usando o valor desta.
Então, isolando
na 1° equação vem
.
Aplicando na 2° equação, temos
,
e, portanto,
.
Agora, com este resultado, calculamos
.
.
Assim, a solução do sistema linear é
.
Alguma dúvida?
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:26
Até agora com relação a primeira pergunta, sua explicação foi maravilhosamente perfeita. Tem como me ajudar sobre minha edição aí na pergunta com relação a segunda dúvida?
Ps.: obrigado Russman.
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Vennom
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 07:29
Para complementar, nessa parte aqui na parte do y = -1/i , você multiplica por i/i por que? Eu não posso ter a unidade imaginária no denominador e por isso tenho que aplicar a regra da racionalização?
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Vennom
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:09
É convencional que expressemos sempre um número complexo na forma
. Portanto, a solução
é correta porém, de certa forma, inadequada. Para resolver este problema basta que você multiplique o denominador e numerador pelo conjugado do número complexo que aparece no denominador.
Note que
.
O conjugado do complexo
é
. Portanto, segue o processo. Apenas uma observação: esta regra não é a da racionalização, visto que nesta o interesse é em escrever o denominador como um número racional( daí, racionalizar). Nosso objetivo é tornar o denominador real.
De forma geral, se você se deparar com o problema de expressar na forma convencional, isto é,
, o complexo, por exemplo,
basta que o multiplique pelo conjugado do denominador, isto é, por
, visto que o produto de um numero complexo por seu conjugado é sempre um número real puro!
Segue que
onde
.
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Russman » Sáb Jul 21, 2012 08:41
Russman escreveu:Qual a condição para que o número , a e b reais, seja estritamente negativo?
Antes de ajudá-lo nesta questão eu gostaria de corrigí-lo.
Na parte que você escreveu
tome cuidado, pois isto não é verdade! Reveja produtos notáveis.
Voltando a questão: um número complexo não pode ser classificado quanto a positivo ou negativo. Oque podemos fazer é classificar suas pates real e imaginária pois são reais.
Assim, a primeira coisa a fazer é determinar a relação de
com
para que o complexo apresentado seja um real puro! Para tanto é necessário que sua parte imaginária seja nula. Vamos expandir o complexo para isolar sua parte real e imaginária:
.
Veja, que a parte imaginária de
é
que deve ser nula. Portanto,
.
Desta, tiramos três soluções possíveis:
Mas ainda queremos que o número seja negativo, isto é, a parte real do número seja negativa ( uma vez qe ele será real puro pois tomamos a parte imaginária nula). Assim, teremos de testar as 3 soluções obtidas anteriormente na parte real e verificar se ela será negativa!
Se tomarmos a 1° solução
, então
,
o que é um absurdo, visto que qualquer real elevado a uma potência par é sempre positivo. Assim, esta não é válida. Descartamos a solução
.
Para
acontecerá o mesmo!
Para
, temos
.
Isto é verdade para todo b real, pois o produto de um negativo com um positivo é sempre negativo.
O mesmo acontecerá para o caso
.
Assim, segue o resultado do gabarito.
(:
"Ad astra per aspera."
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por Vennom » Sáb Jul 21, 2012 09:18
Entendido! Obrigado, Russman!
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por Vennom » Seg Set 10, 2012 14:50
Complementando um tópico antigo meu, mais duas perguntas sobre o mesmo assunto...
Livro: Fundamentos da Matemática Elementar, vol 6, pg. 44, exercício 84, alternativas C e D.
Os respectivos gabaritos são :
1°) 1+2i ou
ou
2°) -3+i ou 3-i ou 1+3i ou -1-3i
Eu tentei aplicar a segunda fórmula de Moivre, mas me perco nesses dois últimos, só consegui com raízes quadradas.
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por Russman » Seg Set 10, 2012 15:56
A fórmula de Moivre calcula potências e as
raízes
-ésimas de um número, em geral, complexo! Mas veja que a mesma calcula raízes de números puramente reais também( claro, todo Real é complexo).
Seja
um complexo de argumento
. Assim,
onde
.
No primeiro caso, temos
onde
.
Agora faça
e calcule as 3 raízes.
"Ad astra per aspera."
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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