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Parábola

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Mensagempor Claudin » Ter Jun 12, 2012 20:38

Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

4x^2+4x+3y-2=0

Não consegui resolver esse exercício.
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Qui Jun 28, 2012 15:40

Se alguém puder me ajudar, ainda não consegui solucionar, tem uns 15 dias q ja postei...
obrigado
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Re: Parábola

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 29, 2012 00:30

Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

4x^2+4x+3y-2=0

Não consegui resolver esse exercício.

Vértice:
4x^2 + 4x + 3y - 2 = 0

(2x + 1)^2 - 1 + 3y - 2 = 0

(2x + 1)^2 = - 3y + 3

(2x + 1)^2 = - 3(y - 1)

2x + 1 = 0 ====> x = - \frac{1}{2}

y - 1 = 0 ======> y = 1

Portanto,
V(- \frac{1}{2}, 1)

Claudin,
tente as outras, caso não consiga, retorne com as dúvidas/tentativas!!

Aguardo retorno!

Daniel F.
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Seg Jul 02, 2012 19:17

Tendo em vista o foco (-\frac{1}{2},1), para achar o foco
teria que ser feito:

2p=-3
p=-\frac{3}{2}

Porém não sei como prosseguir para calcular o Foco, pois já vi formas diferentes como por exemplo:
(x_o - \frac{p}{2}, y_o)
(x_o + \frac{p}{2}, y_o)
(x_o, y_o-\frac{p}{2})
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Qui Jul 05, 2012 17:22

Ainda não consegui como calcular o Foco, pois o modo como calcular muda de questão para questão. Então gostaria de aprender a metodologia correta para resolver qualquer exercício, como postei no exemplo aqui em cima, as formas que já vi.
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Qui Jul 05, 2012 19:48

Achei resultados diferentes do gabarito

meus resultados foram:

Foco: (-\frac{1}{2},\frac{5}{2})

Diretriz: y=-\frac{1}{2}

Equação do eixo: 2x+1=0

O que está incoerente com o gabarito seria o foco e a diretriz.

Aguardo alguma resposta se possível.
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Seg Jul 09, 2012 12:21

Meus resultados estão dando diferente do gabarito.
Alguém pode ajudar?
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Ter Jul 17, 2012 03:04

Desde o dia 12 de junho
e até hoje não conseguir sanar minha dúvida nesse exercício
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Sex Jul 20, 2012 03:08

ate hoje nao consegui entender o exercício.
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Re: Parábola

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jul 20, 2012 21:33

Claudin escreveu:Determine ..., o foco e a... parábola:

4x^2+4x+3y-2=0


danjr5 escreveu:...

(2x + 1)^2 = - 3(y - 1)


|2p| = 3 ====> |p| = \frac{3}{2} ====> \left | \frac{p}{2} \right | = \frac{3}{4}

x_f = x_o = - \frac{1}{2}

y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right | ====> y_f = 1 - \frac{3}{4} ====> y_f = \frac{1}{4}

Daí,
\fboxed{F = \left (- \frac{1}{2},\frac{1}{4}  \right )}

Claudin,
note que o foco é dado por F = (x_f, y_f) onde y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right |, uma vez que, o eixo de simetria é paralelo ao eixo y, a grosso modo, x não varia.

Espero ter ajudado, a propósito, a idéia é essa, caso minha resposta não esteja de acordo com o gabarito, devo ter cometido algum erro em conta.

Aguardo retorno!

Desculpe a demora, rsrsr.
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Re: Parábola

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jul 20, 2012 21:39

Diretriz:

y_d = y_o + \left |\frac{p}{2}  \right |

y_d = 1 + \frac{3}{4}

y_d = \frac{7}{4}

Daí,
d: y - \frac{7}{4} = 0
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Seg Jul 23, 2012 21:03

danjr5 escreveu:
(2x + 1)^2 = - 3(y - 1)

|2p| = 3 ====> |p| = \frac{3}{2} ====> \left | \frac{p}{2} \right | = \frac{3}{4}

x_f = x_o = - \frac{1}{2}

y_f = y_o - \left | \frac{p}{2} \right | ====> y_f = 1 - \frac{3}{4} ====> y_f = \frac{1}{4}



Danjr, primeiramente observei que você igualou 2p=3

E de acordo com a equação não seria 2p=-3 ?

Somente com esse resultado mudaria tudo.
A resposta que você deu também não bateu com o gabarito.
Se puder analisar novamente e considerar o que eu falei.

Abraço
Obrigado
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Qua Jul 25, 2012 16:30

Desculpe Danjr.

Você estava correto, seria -2p=-3 nao é?

Ai os resultados seriam como você mesmo expressou acima, porém os resultados continuam diferentes do gabarito como postei acima, mas mesmo assim acho que está correto, pois não tem erro na resolução eu acho.
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Re: Parábola

Mensagempor DanielFerreira » Qui Jul 26, 2012 23:03

Claudin,
boa noite!
Pode postar o gabarito?
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Sex Jul 27, 2012 00:27

Algumas respostas deram iguais, e outras não.

Vertice: (-\frac{1}{2},1)

Equação do eixo: 2x+1

Foco: (-\frac{1}{2},\frac{13}{16})

Diretriz: 16y-19=0
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Seg Set 03, 2012 23:59

danjr5 escreveu:
Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

4x^2+4x+3y-2=0

Não consegui resolver esse exercício.

Vértice:
4x^2 + 4x + 3y - 2 = 0

(2x + 1)^2 - 1 + 3y - 2 = 0

(2x + 1)^2 = - 3y + 3

(2x + 1)^2 = - 3(y - 1)

2x + 1 = 0 ====> x = - \frac{1}{2}

y - 1 = 0 ======> y = 1

Portanto,
V(- \frac{1}{2}, 1)

Claudin,
tente as outras, caso não consiga, retorne com as dúvidas/tentativas!!

Aguardo retorno!

Daniel F.



Essa simplificação de 4x²+4x ai, esta correta?
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Ter Set 04, 2012 00:32

Refiz e deu um resultado completamente diferente

4x^2+4x+3y-2=0

(2x+1)^2+1=-3y+2

Portanto

(2x+1)^2=-3y+1

Certo?

Aguardo uma resposta, e caso esteja correto, postarei uma nova solução.
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Re: Parábola

Mensagempor LuizAquino » Ter Set 04, 2012 10:22

Claudin escreveu:Determine o vértice, a equação do eixo, o foco e a diretriz da parábola:

4x^2+4x+3y-2=0


Note que:

4x^2 + 4x + 3y - 2 = 0

4\left(x^2 + x\right) + 3y - 2 = 0

4\left[\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}\right] + 3y - 2 = 0

4\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + 3y - 3 = 0

y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2

Temos então que o vértice da parábola é dado V=\left(-\frac{1}{2},\,1\right) .

Já o eixo dessa parábola será paralelo ao eixo y, sua equação será dada por x = x_v . Desse modo, temos que a equação do eixo será x = -\frac{1}{2} .

Para determinar o foco e a diretriz da parábola precisamos calcular o parâmetro p. Como a concavidade da parábola é para baixo (devido a presença do termo -4/3 multiplicando (x + 1/2)²), temos a relação:

-\frac{1}{4p} = -\frac{4}{3}

p = \frac{3}{16}

Ainda lembrando que a concavidade da parábola é para baixo, temos que seu foco será dado por F = \left(x_v,\,y_v-p\right) (onde x_v e y_v são as coordenadas x e y do vértice). Sendo assim, temos que F = \left(-\frac{1}{2},\,\frac{13}{16}\right) .

Por fim, como a parábola tem eixo paralelo ao eixo y e sua concavidade é para baixo, temos que sua diretriz será dada por y = y_v + p. Sendo assim, temos que a diretriz tem equação y = \frac{19}{16} .
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Sex Set 07, 2012 22:14

Agora sim compreendi.

Mas a parte do Foco ainda não compreendi o porque de não ser:

-2p=-\frac{4}{3}

No caso resultaria em

p=\frac{2}{3}
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Re: Parábola

Mensagempor LuizAquino » Sáb Set 08, 2012 15:23

Claudin escreveu:Agora sim compreendi.

Mas a parte do Foco ainda não compreendi o porque de não ser:

-2p=-\frac{4}{3}

No caso resultaria em

p=\frac{2}{3}


Há dois detalhes:

1) em alguns livros, a equação da parábola é montada de tal forma que d(F, V) = d(V, d) = p (onde F é o foco, V é o vértice e d é a diretriz). Já em outros livros, a equação da parábola é montada de tal forma que d(F, V) = d(V, d) = p/2. Se você está estudando por esse segundo tipo de livro, então a equação de uma parábola com vértice V = (x_v,\,y_v) e concavidade para baixo tem o formato y - y_v = -\frac{1}{2p}(x-x_v)^2 . Já se você está estudando pelo primeiro tipo, então essa mesma parábola tem equação no formato y - y_v = -\frac{1}{4p}(x-x_v)^2 . Note que foi esse formato que usei na minha resolução.

2) você está confundido o caso da parábola no exercício (que tem concavidade para baixo) com o caso da parábola que tem concavidade para esquerda. Naquele segundo tipo de livro, a equação de uma parábola com vértice V = (x_v,\,y_v) e concavidade para esquerda tem o formato -2p(x - x_v) = (y-y_v)^2 (ou simplesmente x - x_v = -\frac{1}{2p}(y-y_v)^2 ).
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Sáb Set 08, 2012 22:01

É, não estou entendendo pois todos exercícios de parábola que eu fiz, foram utilizando -2p
ao invés de 1/2p ou 1/4p
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Re: Parábola

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 09, 2012 12:35

Claudin escreveu:É, não estou entendendo pois todos exercícios de parábola que eu fiz, foram utilizando -2p
ao invés de 1/2p ou 1/4p


É apenas uma questão de prestar atenção no livro/material que você está usando.

Leia com atenção nesse livro/material como é que ele define o formato de uma parábola com vértice em V = (x_v,\,y_v) e concavidade para baixo. Em seguida, basta comparar esse formato com a equação que você obteve no exercício (que nesse caso foi y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2).
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Dom Set 09, 2012 13:15

Observei o livro e está da seguinte forma:

Concavidade voltada para direita

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0 e y_0=0
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(y-0)^2=2p(x-0)


Concavidade voltada para esquerda

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0 e y_0=0
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(y-0)^2[=-2p(x-0)/tex]

<span style="text-decoration: underline">Concavidade voltada para cima</span>

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, [tex]x_0=0 e y_0=0
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:


(x-0)^2=2p(y-0)

Concavidade voltada para baixo

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0 e y_0=0
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:


(x-0)^2=-2p(y-0)


Mas eu sempre usei somente como sendo (x-0)=-2p(y-0) ou então (y-0)^2=-2p(x-0)
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Dom Set 09, 2012 13:29

Outro problema que estou encontrando seria como diferenciar, quando é uma concavidade para esquerda, direita, cima e para baixo. Pois sabendo isso, usarei as fórmulas correspondente.
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Re: Parábola

Mensagempor LuizAquino » Dom Set 09, 2012 14:09

Claudin escreveu:Observei o livro e está da seguinte forma:

(...)

Concavidade voltada para baixo

Caso vértice da parábola coincida com a origem dos eixos cartesianos, teremos V(0,0) ou seja, x_0=0 e y_0=0
fazebdo com que a equação obtida fique da seguinte forma:

(x-0)^2=-2p(y-0)


Preste atenção nesse caso. Considerando que o vértice seja V = (x_v,\,y_v), a equação terá o formato:

(x-x_v)^2 = -2p(y-y_v)

Agora compare isso com a equação:

y - 1 = -\frac{4}{3}\left(x + \frac{1}{2}\right)^2

Ela ainda não está no formato dado anteriormente. Mas podemos arrumá-la escrevendo:

\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}(y - 1)

Conclusão: teremos que -2p = -\frac{3}{4} , de onde obtemos p=\frac{3}{8} .

Lembrando agora que nesse livro que você está estudando temos que d(F, V) = d(V, d) = p/2 (e além disso a parábola tem concavidade para baixo), podemos dizer que o foco será dado por F = \left(x_v,\, y_v - \frac{p}{2}\right) . E como temos que x_v = -\frac{1}{2} e y_v = 1, obtemos que F = \left(-\dfrac{1}{2},\, \dfrac{13}{16}\right) .

Claudin escreveu:Outro problema que estou encontrando seria como diferenciar, quando é uma concavidade para esquerda, direita, cima e para baixo. Pois sabendo isso, usarei as fórmulas correspondente.


Se a parábola tem vértice na origem e concavidade para baixo, então o valor de y é sempre negativo (faça o esboço de uma parábola desse tipo para perceber isso). Agora analise a equação x^2 = -2py que representa essa parábola. Isolando a variável y, obtemos que y = -\frac{1}{2p} x^2 . Você já sabe que x^2 é sempre um número positivo. Por outro lado, p é sempre positivo por definição (consulte o seu livro). Sendo assim, o valor de -\frac{1}{2p} x^2 será sempre um número negativo. Ou seja, o valor de y será sempre negativo como queríamos. Perceba então como a equação da parábola é condizente com o que acontece com seu esboço.

Fazendo uma análise semelhante, você pode aprender a diferenciar os outros casos. Se você estiver interessado, eu comentei sobre essas análises na videoaula "28. Geometria Analítica - Equação da Parábola" que está disponível em meu canal no YouTube.
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Re: Parábola

Mensagempor Claudin » Seg Set 10, 2012 02:55

Agora parece que entendi sim, amanha verificarei novamente o exercício e qualquer coisa volto a postar.

:y:

Obrigado
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.