[Integrais] é possivel multiplicar?

por **Bruno Anastacio** » Sáb Mai 26, 2012 23:35

Matemática - Integrais
Tenho que verificar se:

$\int_{}^{} f \left(x \right)g \left(x \right) = (\int_{}^{}f(x)dx)(\int_{}^{}g(x)dx)$

comecei assim:
$\int_{}^{} f \left(x \right)g \left(x \right) = (\int_{}^{}f(x)dx)(\int_{}^{}g(x)dx)$
$\int_{}^{} f \left(x \right)g \left(x \right) = f(x)\int_{}^{}dx * g(x)\int_{}^{}dx$
$\int_{}^{} f \left(x \right)g \left(x \right) = f(x)x+c * g(x)x+c$

e aqui travei...
Meu raciocínio está certo? Eu tenho que multiplicar $(\int_{}^{}f(x)dx)(\int_{}^{}g(x)dx)$ ?

por **MarceloFantini** » Dom Mai 27, 2012 15:33

Isto não é verdade. Tome f(x) = g(x) = x

no intervalo [0,1]

e calcule os dois lados, verá que são diferentes. Quando um enunciado diz "verifique se", isto significa que a afirmação pode não ser verdadeira e cabe a você exibir um contra-exemplo.

por **Guill** » Dom Mai 27, 2012 16:32

De fato, isso é impossível para funções não nulas:

$\int_{}^{}f(x).g(x)dx = \left(\int_{}^{}f(x)dx \right)\left(\int_{}^{}g(x)dx \right)$

Derivando:

$f(x).g(x) = \left(\int_{}^{}f(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}g(x)dx \right).f(x)$

Se as funções forem iguais (f(x) = g(x)):

$f(x) = 2.\left(\int_{}^{}f(x)dx \right)\rightarrow f(x) = 0$

Se as funções forem diferentes, existe uma função h(x) não nula tal que f(x) = g(x) + h(x):

$[g(x) + h(x)].g(x) = \left(\int_{}^{}g(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}h(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}g(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}g(x)dx \right).h(x)$

$[g(x).g(x) + h(x).g(x) = 2.\left(\int_{}^{}g(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}h(x)dx \right).g(x) + \left(\int_{}^{}g(x)dx \right).h(x)$

Daí:

$g(x).g(x) + h(x).g(x) = 2.\left(\int_{}^{}g(x)dx \right).g(x) + h(x).g(x)$

$g(x).g(x) = 2.\left(\int_{}^{}g(x)dx \right).g(x)$

$g(x) = 2.\left(\int_{}^{}g(x)dx \right)$

Chegamos em f(x) = 0.