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por Eliane Maria » Qua Abr 25, 2012 01:01
Eu preciso verificar se o conjunto dos reais positivos com a operação abaixo representa um grupo.
Eu preciso verificar três propriedades:
1) associatividade - foi verificada
2) existência de elemento neutro - foi verificada. O elemento neutro encontrado foi e =0.
3) existência de elemento simétrico. A minha dúvida é justamente nessa propriedade, pois preciso verificar se
x*x`= e = x`*x, onde x`é o elemento simétrico e "e" o elemento neutro encontrado anteriormente. O desenvolvimento ficou da seguinte forma:
. Elevando-se ambos os lados ao quadrado encontramos
. Isolando o x` (elemento simétrico) temos:
.
dúvida: posso extrair a raiz de um número negativo considerando o conjunto dos números reais positivos?
Essa questão está no livro álgebra moderna (Hygino Domingues).
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Eliane Maria
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por fraol » Qui Abr 26, 2012 23:49
Você não pode ter raiz quadrada de número negativo nesse domínio.
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por Eliane Maria » Sex Abr 27, 2012 12:28
Obrigada pela resposta. Foi o que eu pensei também. No livro do Hygino, diz que existe elemento simétrico.
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Eliane Maria
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por fraol » Sex Abr 27, 2012 12:55
Você poderia passar a página do livro que você encontrou o exercício, eu terei acesso ao livro no fim de semana e posso verificar.
No meu entendimento um conjunto munido com essa operação,
, não é um grupo pois não possui o elemento inverso.
Presumo que seja o caso da operação ser algo como
, isto é o índice e os expoentes devem ser ímpares para poder satisfazer a propriedade do elemento inverso.
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por Eliane Maria » Seg Abr 30, 2012 00:51
Na página 114, no exercício 105, ele pede para o leitor verificar se a operação é associativa. Resp. na página 352. é associativa.
Na página 116, no exercício 111, ele pede para verificar se a operação do exercício 105 tem elemento neutro. Resp. na página 352. tem elemento neutro.
Na página 119, no exercício 116, ele pede para o leitor determinar nas operações do exercício 105 que têm elemento neutro os elementos simetrizavéis. Resp. 352.
Você pode verificar se é isso mesmo?
Mais uma vez obrigada pela ajuda.
Eliane.
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por fraol » Seg Abr 30, 2012 20:39
Boa noite Eliane,
Verifiquei no livro, nesse último exercício, o 116, ele pede os elementos simetrizáveis.
Para o caso que estamos discutindo, somente o
é simetrizável para
.
De fato, o
único elemento que satisfaz a igualdade
é o
.
Portanto o conjunto
com a operação definida não é um grupo.
Grato.
.
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por Eliane Maria » Seg Abr 30, 2012 21:16
Olá Fraol,
desculpe, mas eu não entendi.
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por fraol » Seg Abr 30, 2012 21:32
Este exercício pede para você determinar os elementos simetrizáveis dos conjuntos dados.
No caso que estamos discutindo, o da letra c, somente o
é simetrizável, os demais elementos não possuem simétricos pois você cairia naquela impossibilidade da raiz real de número negativo.
Em contraponto, na letra d:
e
,
todos os elementos são simetrizáveis.
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fraol
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:07
Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?
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Eliane Maria
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por fraol » Ter Mai 01, 2012 22:19
Eliane Maria escreveu:Olá Fraol,
muito obrigada pelo esclarecimento. Se fosse verificada a extração da raiz então posso afirmar que todos os elementos são simetrizáveis? logo a estrutura é um grupo?
Sim. Se
todos os elementos do conjunto forem
simetrizáveis, existir o
elemento neutro e a
operação for associativa então a estrutura é um grupo.
.
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:48
mais uma vez obrigada. Vou tentar fazer os outros exercícios.
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por Eliane Maria » Ter Mai 01, 2012 22:57
Fraol,
onde se aplica a teoria dos grupos?
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por fraol » Ter Mai 01, 2012 23:42
Oi
Eliane Maria,
É possível que aqui no forum tenhamos colegas mais preparados para responder essa pergunta.
No entanto, o que posso dizer é que, como muitas partes da matemática, essa teoria servia, inicialmente, a própria matemática.
Mas como ocorre, também com outros tópicos, as aplicações vão surgindo e hoje já há um bom leque delas.
Aqui tem um exemplo prático. Outros exemplos você poderá encontrar na física, na química, na computação, em jogos ( lembra daquele cubo mágico - há formas de resolvê-lo usando teoria dos grupos - um pouco sobre isso você encontra
aqui), etc.
No próprio livro que você está estudando os autores tocam em aplicações na introdução do capítulo IV a respeito desse assunto.
Bons estudos!
.
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