Problema com logaritmo

por **ricardommoreira** » Qua Abr 11, 2012 00:29

Segundo dados da Faculdade de Engenharia Agrícola da Universidade Estadual de Campinas, o tomate tem aproximadamente 90% de água em sua composição orgânica. Uma das formas de processamento do tomate para produção de tomate seco é a desidratação ao ar quente forçado. Neste processo, o tomate perde, a cada hora, 20% da água restante em sua composição. Qual é o tempo gasto com a secagem, com a aplicação desse processo, na produção de tomate seco contendo 8% de água na sua composição final? (DADOS--> log 8= 0,9 e log 9 = 0,95)

A) 9 horas
B) 9 horas e 30 min
C) 10 horas
D) 10 horas e 30 min

Obrigado.

por **nakagumahissao** » Qua Abr 11, 2012 02:04

Inicialmnente teremos (a = água):

${a}_{0} = \frac{90}{100}a$ (1)

${a}_{n} = \frac{90}{100}a {\left(\frac{80}{100} \right)}^{n}$ (2)

Precisamos encontrar n (tempo em horas) que decorrerão para sobrar apenas 8% de água dos 90% existentes. Assim, substituimos em (2) como se segue:

$\frac{8}{100}a = \frac{90}{100}a {\left(\frac{80}{100} \right)}^{n}$

Simplificando, fica:

$\frac{8}{90} = {\left(\frac{8}{10} \right)}^{n}$

Desta forma, utilizaremos os logaritmos com base 10 para auxiliar-nos no cálculo de n, ficando:

$log \left(\frac{8}{90} \right) = log {\left(\frac{8}{10} \right)} ^{n}$

Que por sua vez, aplicando-se as propriedades dos logaritmos, ficará:

$log 8 - log 90 = log 8 - \left[ log (9 \times 10) \right] = n \times log \frac{8}{10} = n \times \left(log 8 - log 10 \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow log 8 - log 9 - log 10 = n \times \left(log 8 - log 10 \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow 0,9 - 0,95 - 1 = n \times \left(0,9 - 1 \right)\Rightarrow$

$\Rightarrow \frac{-1,05}{-0,1} = n \Rightarrow$

$\Rightarrow n = 10,5$

Portanto, a resposta será 10 Horas e 30 Minutos, ou seja, a letra D.

Espero que eu tenha acertado.

por **ricardommoreira** » Sex Abr 13, 2012 09:45

nakagumahissao, muito bom e esclarecedor.

Abraço.

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