questão de concurso

por **luciana-lopfer** » Qui Nov 24, 2011 14:34

2.(TRT-PR 2010 FCC) Dois números inteiros positivos x e y têm, cada um, 5 algarismos distintos entre si. Considerando que x e y não têm algarismos comuns e x > y, o menor valor que pode ser obtido para a diferença x - y é:
(A) 257.
(B) 256.
(C) 249.
(D) 247.
(E) 246.

Comecei imaginando dois numeros de 05 algarismos sem repetição como 10234 e 56789, mas isso não chega nem perto das soluções dadas.
Sei que é bem elementar mas estou retomando os estudos agora, e tá complicado, rs
A propósto, amei essa idéia. Acabaram de ganhar uma fã super assídua

por **TheoFerraz** » Qui Nov 24, 2011 18:08

eu começei pensando a mesma coisa que voce, luciana... é engraçado como não da nem perto mesmo, parece tão obvio....

ai eu fiz umas anotações e vi que eu acho meio impossivel... observe:

seja x um numero de 5 algarismos...

x pode ser escrito como:

$x = a + 10 \times b + 100 \times c + 1000 \times d + 10000 \times e$

pra ficar menos feio :

x = a + 10 b + 100c + 1000d + 10000e

e escrevendo o y fica

$y = \alpha + 10 \beta + 100 \gamma + 1000 \delta + 10000 \epsilon$

agora tira a diferença...

$x - y = \left(a + 10 b + 100c + 1000d + 10000e \right) - \left( \alpha + 10 \beta + 100 \gamma + 1000 \delta + 10000 \epsilon \right)$

dai

$x - y = \left(a - \alpha \right) + 10(b- \beta) + 100(c - \gamma) + 1000(d- \delta ) + 10000(e - \epsilon)$

essa é a diferença...

Mas nas respostas, voce percebe claramente que $(e - \epsilon)$ e $(d - \delta)$ são iguais a zero... pois os numeros tem só 3 algarismos. E isso nos leva a perceber que $d = \delta$ ... o mesmo pra 'e' e 'epsilon'

não sei não... acho que o enunciado deve ta mal feito pq pra MIM (lembrando que não sou professor nem nada, é bem capaz que eu tenha errado em alguma coisa, errado feio até, sei lá =P) parece que é meio impossivel...

o que voces acham, gente ?

por **luciana-lopfer** » Qui Nov 24, 2011 19:37

Pois é ... não é nenhuma novidade de que eu tomo uma surra do tal raciocinio lógico e da matematica, mas entre tapas e porradas eu me safo, mas esssa
O exercicio está no meu trabalho, amanhã eu posto a resposta, de repente a partir dela vc me clareia.
abraços

por **Andreza** » Qui Nov 24, 2011 20:21

Eu pensei em 90123 - 87654 mas de qualquer maneira q fiz aqui nao deu nenhuma resposta do gabarito. Cheguei em 2469. Vou pesquisar mais aqui.

por **luciana-lopfer** » Sex Nov 25, 2011 14:07

o gabarito é D ( 247) é de uma prova do TRTPR 2010 FCC , pelo menos não me sinto sozinha... kkkkkk

por **Tiago_Cariolano** » Seg Jan 16, 2012 01:23

Olá pessoal,

Acredito que a resposta é

Código: Selecionar todos: x = 50123 e y = 49876, em que x - y = 247

.

Como cheguei a esse resultado:

Admitimos que x e y não podem começar com o algarismo 0, pois senão algum deles teria apenas 4 algarismos (ok, qualquer cego vê isso!!!).

Assumimos que desconhecemos o primeiro algarismo tanto de x quanto de y (na realidade não sabemos mesmo...). Vamos descobrir a partir do segundo em diante.

Bom, como x > y e estamos interessados na menor diferença entre os dois, devemos escolher os algarismos seguintes de maneira que 'forcemos' x a ser o menor valor possível e y a ser o maior valor possível. Tendo isso em mente, o segundo algarismo de x deve ser 0 (já que não pode ser o primeiro!), o terceiro 1, o quarto 2 e o quinto 3 e o segundo algarismo de y deve ser 9, o terceiro 8, o quarto 7 e o quinto 6. Logo

x = ? 0123 e y = ? 9876 obviamente para a diferença não ser um valor negativo x = 50123 e y = 49876!

Porém, acho que tem um jeito mais fácil de raciocinar sobre este problema, que consiste tentar encontrar o menor valor para x e o maior valor para y simultaneamente, de maneira que x > y e não se repita nenhum algarismo entre os dois números.

Dessa forma
O primeiro algarismo de x deve ser 5, pois se fosse 6, 7, 8 ou 9 não seria o menor possível e se fosse 4, 3, 2 ou 1 impediria y de ter o valor 4.
O primeiro algarismo de y deve ser 4, pois se fosse 0, 1, 2 ou 3 não seria o menor possível e se fosse 5, 6, 7, 8 ou 9 impediria x de ter o valor 5.

Essas duas premissas podem ser pensadas intuitivamente, principalmente na hora da prova, mas podem ser comprovadas por permutação de x e y (eu acho!):
x y x y x y ....
9 1 9 2 9 3 ....
8 1 8 2 8 3 ....
7 1 7 2 7 3 ....
... .... .....

De maneira semelhante ao raciocínio anterior, os algarismos seguintes a x seriam 0, 1, 2 e 3 e os seguintes a y seriam 9, 8, 7 e 6.

Espero ter ajudado!

Abraços