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limites

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Mensagempor giulioaltoe » Qua Jul 06, 2011 00:20

a questao e essa\lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1} entao fiz o desenvolvimento e cheguei a a algo do tipo \lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)} a partir dai nao achei termos em comum para cortar termos e chegar a uma reposta concreta se alguem souber agradeço ;)
eu cheguei a outra fatoração tbm que h \lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{x^p(x-1)-(x-1)}mas nao sai dai!!
Editado pela última vez por giulioaltoe em Qua Jul 06, 2011 01:00, em um total de 1 vez.
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Re: limites

Mensagempor LuizAquino » Qua Jul 06, 2011 00:52

giulioaltoe escreveu:a questao e essa \lim_{\Delta x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1} (...)


Reveja o texto original do exercício, pois o limite deve ser algo como \lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1} .

giulioaltoe escreveu:fiz o desenvolvimento e cheguei a a algo do tipo \lim_{\Delta x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)} a partir dai nao achei termos em comum para cortar termos e chegar a uma reposta


Dica: use o produto notável descrito na mensagem abaixo para desenvolver x^n - 1 :
viewtopic.php?f=120&t=5302#p18125
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Re: limites

Mensagempor giulioaltoe » Qua Jul 06, 2011 00:57

escrevi errado msm esse delta nao existe, mas se eu tenho uma potencia com radical indefinido como posso saber ate onde devo fazer o produto notavel, existe alguma propriedade que resuma isso!?
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Re: limites

Mensagempor LuizAquino » Qua Jul 06, 2011 10:31

giulioaltoe escreveu:eu tenho uma potencia com radical indefinido como posso saber ate onde devo fazer o produto notavel, existe alguma propriedade que resuma isso!?

Assim como foi feito na mensagem que eu indiquei acima, você usará a reticências para simbolizar o desenvolvimento desse produto notável.
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Re: limites

Mensagempor giulioaltoe » Qua Jul 06, 2011 19:07

como {x\to1} na hora de substituir a equação {x^n-1} a resposta seria (x-1)(n) ja que sao n termos e multiplicando eles por 1 seria n a resposta dessa parte da equação?
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Re: limites

Mensagempor MarceloFantini » Qua Jul 06, 2011 19:42

Giulio, note que x^n -1 \neq (x-1)n, são bem diferentes. Sobre seu limite, não vejo indeterminação quando x \to 1. Você tentou substituir? Tem a resposta?
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Re: limites

Mensagempor giulioaltoe » Qui Jul 07, 2011 15:22

eu peguei {x^n-1} ai o produto notavel disso {(x-1)(x^n^-^1+x^n^-^21+...+x1^n^-^2+1^n^-^1)} e substituindo o 1 no lugar de x eu acharei n termos que sao 1 elevado a um valor n que independente dele vai dar um sendo assim terrei {1^nn} que sera n!
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Re: limites

Mensagempor MarceloFantini » Qui Jul 07, 2011 15:24

x^n -1 quando x=1 é 0.
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Re: limites

Mensagempor giulioaltoe » Qui Jul 07, 2011 15:33

mas na questao eu tenho que extrair o {x-1} para posteriormente poder cortar com a expressao de baixo, pois se nao o limite fica indeterminado!
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Re: limites

Mensagempor LuizAquino » Qui Jul 07, 2011 17:37

Temos que
\lim_{x\to1}\frac{nx^n^+^1-(n+1)x^n +1}{x^p^+^1-x^p-x+1} = \lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)}

Usando produtos notáveis, sabemos que
x^n - 1 = (x - 1)\left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)

x^p - 1 = (x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)

Sendo assim, ficamos com
\lim_{ x\to1}\frac{nx^n(x-1)-(x^n-1)}{(x-1)(x^p-1)} = \lim_{ x\to1}\frac{(x-1)\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right]}{(x-1)(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}

Mas, temos que
\lim_{ x\to1}\frac{(x-1)\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right]}{(x-1)(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)} = \lim_{ x\to1}\frac{nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)}{(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}

É fácil perceber no último limite que no denominador temos algo aproximando-se de 0. Mas, no numerador também temos algo aproximando-se de 0, pois temos n parcelas naquela soma e quando x tender a 1 ficaremos com n - n = 0. Em resumo, o último limite é uma indeterminação do tipo 0/0.

Para remover essa indeterminação precisamos dividir o numerador e o denominador por (x - 1).

É fácil perceber que a divisão de (x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right) por (x - 1) resulta em x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1 .

Agora, é necessário dividir nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right) por (x - 1) . Aplicando os conhecimentos sobre divisão de polinômios, obtemos:
\left[nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)\right] \div (x - 1) = nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1

Portanto, temos que
\lim_{ x\to1}\frac{nx^n - \left(x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1\right)}{(x - 1)\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)} = \lim_{x\to 1}\frac{nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1}{\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)}

Note que no denominador aparecerá a soma 1 + 1 + ... + 1 + 1, com p parcelas. Isso resulta em p.

Já no numerador irá aparecer a soma n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 2 + 1. Ora, isso nada mais é do que a soma dos números inteiros indo de 1 até n, que como sabemos (por p. a.) é dada por \frac{(1 + n)n}{2} .

Sendo assim, temos que
\lim_{x\to 1}\frac{nx^{n-1} + (n-1)x^{n-2} + (n - 2)x^{n-3} + \cdots + 2x + 1}{\left(x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + x + 1\right)} = \frac{(1 + n)n}{2p}

Observação
Caso você não esteja bem treinado na divisão de polinômios, eu recomendo que você faça uma revisão.
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Re: limites

Mensagempor giulioaltoe » Qui Jul 07, 2011 20:50

e rapais, sua dica da revisao de divisão de polinomio e uma boa, porque foi a partir dai mesmo qua nao sabia fazer mais nada, mesmo com voce desenvolvendo ai nao lembro nada disso!! muito menos o de p.a muito obrigado vou procurar algo a respeito na intenet!
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.