Endomorfismo e matriz anti simetrica

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Bom dia a todos!

Estou com umas dúvidas. Gostava que me pudessem ajudar num exercício.

È assim, tendo um espaço vectorial e seja f : E ---> E , um endomorfismo de E satisfazendo o seguinte, como posso afirmar que

u | f(v) = - f(u) | v ( produto vectorial)

Pensei no seguinte raciocionio:

Tendo este endomorfismo, e sendo de uma diagonalizacao de uma matriz anti simétrica ( A= - A^t ), temos

f(v)= x v , por ser auto adjunta e f(u) = x u , em que x é valor proprio.

Entao igualando,
u | x v = - x u | v , o que concluo que u | v = 0

Será que o raciocionio está bem aplicado? O que dizem?

Já agora, como posso saber o núcleo de f e a imagem de f ?

Nas soluções está que a intersecção do núcleo de f com a imagem de f é o conjunto vazio.

HELPPPPPPPPP!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!