Equação do segundo grau

por **VtinxD** » Qui Jan 27, 2011 23:03

Esta questão era da Gazeta Matemática,Romênia ,não eu não li o original,estou estudando um livro,Iniciação a matemática problemas e soluções, e achei este problema bem interessante ,espero que também gostem:
Considere a equação: a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2=0

onde a,b e c são numeros inteiros positivos.Se $n\in N$ é tal que p(n)=0, mostre que n é um quadrado perfeito.

por **douglaspezzin** » Dom Jun 19, 2011 09:55

sabemos que p(x) = a²x² - (b² - 2ac)x + c²
logo, p(n) = a²n² - (b² - 2ac)n + c² = 0 -> a²n² - b²n + 2acn + c² -> (an + c)² - b²n = 0
b²n = (an + c)² -> n = (an + c)² / b² -> n = (an + c / b)²
logo, n é um quadrado perfeito, c.q.d

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