volume de sólido por rotação

por **hmspriss** » Qui Set 23, 2010 11:13

o exercício pede para calcular o volume de $x^2+y^2\leq2$ e $0\leq y\leq x$ o resultado era para ser $4\pi(\sqrt[]{2}-1)/3$
fiz os calculo usando a fórmula v= $\pi \int_{a}^{b} f(x)^2dx$ mas o resultado deu $4\pi/3$ , acho que o problema está no intervalo da integração, eu coloquei de 0 até 1, qual seria o intervalo correto?

por **MarceloFantini** » Sex Set 24, 2010 01:32

O raio da semi-circunferência é $\sqrt{2}$ , e não 1. Logo:

$y = \sqrt {2 - x^2} = f(x)$

$V = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (f(x))^2 \; dx = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (2- x^2) dx = \pi (\int_0^{\sqrt{2}} 2 \; dx - \int_0^{\sqrt{2}} x^2 \; dx) = \pi \left( 2x \right)_0^{\sqrt{2}} - \pi \left( \frac{x^3}{3} \right)_0^{\sqrt{2}} = 2 \pi \sqrt{2} - \frac{2 \pi \sqrt{2}}{3} = \frac { 6 \pi \sqrt{2} - 2 \pi \sqrt{2} }{3} = \frac{4 \pi \sqrt{2}}{3}$

Talvez eu tenha esquecido alguma coisa.

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