AJUDA!! - DESENVOLVIMENTO DA CONTA DA ÁREA DE UM DECÁGONO

por **jmatematica** » Qua Mai 19, 2010 10:44

oii pessoal, eu ainda naum expert em matemática
mas eu to com uma conta que ta me deixando louco.
quero determinar a área de um decágono regular de lado ?.

eu sei que a resposta é:
[size=150]5/2?5+2?5?²[/size]

porém eu necessito do desenvolvimento da conta.
também sei que uma das formas de se resolver é calculando a
área de um dos triÂngulos que o decágono forma e depois multiplica-los
por 10(que eh a quantidade de lados que o decágono tem)
por favor, se alguém puder me ajudar ficaria muito agradecido de coração.
essa conta ta me dando nos nervos..
até..

por **Tom** » Dom Jul 04, 2010 01:31

Inscreveremos(não estranhe! É assim que se escreve, mesmo :lol:

) o decágono em uma circunferência de raio

e o dividiremos em dez triângulos congruentes, conforme abaixo:

Como todos os dez triângulos são congruentes, o ângulo central mede

º e, como o triângulo é isóceles, os outros dois ângulos medem

º.

Tracemos a bissetriz relativa a um dos ângulos de

º , dividindo-o portanto em dois ângulos de

º . Obteremos, assim, dois novos triângulos isóceles que são semelhantes, pelo critério ângulo-ângulo.

Na figura acima, os ângulos em verde medem

º e em vermelho medem

º . Pelos triângulos isóceles, os lados demarcados são congruentes e medem

, isto é, o lado do decágono.

Da semelhança dos triângulos supracitados, temos que:

$\dfrac{r-l}{l}=\dfrac{l}{r}\rightarrow\dfrac{r}{l}-1=\dfrac{l}{r}$ , se chamarmos $\dfrac{r}{l}=x$ , então: $x-1=\dfrac{1}{x}\rightarrow x^2-x-1=0$

Resolvendo a equação do segundo grau em

, obtemos duas raízes, uma delas negativa. Nos interessa somente a raiz positiva, a saber:

$\dfrac{r}{l}=x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$ e, portanto, $r=\dfrac{l(1+\sqrt{5})}{2}$

Voltemos ao triângulo principal de lados r,r,l

. Aplicando o Teorema dos Cossenos, temos que:

l^2=r^2+r^2-2r^2cos36

º , isto é, l^2=2r^2(1-cos36)

e fazendo uso da relação entre

e

, temos:

$l^2=\dfrac{l^2(1+\sqrt{5})^2}{2}(1-cos36)\rightarrow cos36=1-\dfrac{2}{(1+\sqrt{5})^2}$ e, portanto, $cos36=\dfrac{1+\sqrt{5}}{4}$

Ora, do Teorema Fundamental da Trigonometria, temos que: $sen^2\theta+cos^2\theta=1$ ; assim $sen36=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Ainda no triângulo principal, pela Lei das Áreas, temos que a área do triângulo pode ser dada por: $\dfrac{r^2.sen36}{2}$ e, fazendo uso da relação já calculada entre

e

, bem como, do valor de sen36

º, temos que:

$S_{\triangle}=\dfrac{l^2(1+\sqrt{5})^2}{8}\times\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

Seja

a área do decágono, então $S=10.S_{\triangle}$ . Assim:

$S=\dfrac{10l^2\timesl^2(1+\sqrt{5})^2}{8}\times\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=\dfrac{5l^2(\sqrt{5}+1)^2\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{16}$ , que é a área do decágono regular em função do comprimento do seu lado.

Não consegui entender o suposto gabarito, mas desde já digo que não existem erros nessa resolução.

Depois você revê.