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Mensagempor VINI8 » Sáb Nov 24, 2018 12:54

Seja C o arco da parábola dado pela parte do gráfico da função quadrática y = 16 - x^{2} no semi-plano y \geq 0. Dentre todos os retângulos com um dos lados sobre o eixo x = 0 e dois dos vértices em C, seja R aquele de maior perímetro. A área de R é portanto, numericamente igual a:
A) 4
B) 30
C) 1
D) 34

\begin{center} Solu\c{c}\~ao \end

Imagem
O perímetro de P_{x} é
\\ P_{x} = 2x + 2x + y(-x) + y(x) = \\ P_{x} = 4x + 16 - x^{2} 16 - x^{2} = \\ P_{x} = -2x^{2} + 4x + 32
Para 0 \leq x \leq 4. O valor máximo de P_{x} é o máximo da função h(x) = -2x^{2} + 4x +32.
h'(x) = -4x + 4 \Rightarrow h'(x) = 0 \Rightarrow x = 1. \\ h''(x) = -4 \Rightarrow x =1. é o ponto de máximo.
Assim, o perímetro máximo será atingido em

Para x = 1, temos y = 15 \Rightarrow (1,15) \\
x = -1, temos y = 15 \Rightarrow (-1, 15).
Então, este retângulo tem medida 2 na base e altura igual a 15. Portanto sua área é igual a 30. (LETRA B)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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