cáculo de uma derivada

por **jmario** » Qua Abr 28, 2010 13:41

Como se calcula o seguinte limite

$\lim_{x-\infty} \frac{2x^2}{x^2-1}$

No meu gabarito a resposta é 2, mas eu não consigo chegar nesse número.
Grato
Mario

por **Neperiano** » Qua Abr 28, 2010 13:56

Ola

Você poderia usar a definição da derivada para resolver, mas creio ser mais facil pelas tecnicas de diferenciação

((4x)(x^2-1)-(2x^2)(2x))/(x^2-1)^2

4x^3-4x-4x^2/x^4-1

por **jmario** » Qua Abr 28, 2010 14:14

E para calcular o limite?

No meu gabarito a resposta é 2 e eu não consigo chegar nesse número.

Grato
Mario

por **Douglasm** » Qua Abr 28, 2010 15:40

Olá Mario. Creio que seja evidente que a expressão tende a 2, apesar de nunca assumir de fato este valor. Veja: quando x tende ao infinito, x²-1 tende a x² e portanto o limite é 2. Talvez fique mais claro, como disse o Maligno, se usarmos as derivadas para avaliar (a Regra de L'Hopital):

Derivando o numerador e denominador, separadamente, o limite se torna:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x}{2x} = 2$

Eu omiti o processo, mas caso reste alguma duvida é só perguntar. Até a próxima.

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 09:10

O problema é que eu só posso aplicar a regra de L´Hopital quando dá uma indeterminação do tipo
$\frac{\infty}{\infty} ou \frac{0}{0}$
O que não é o caso desse limite porque fica o (-1) e não dá a indeterminação.

Essa é aminha dúvida caro amigo

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 09:53

Exatamente Mario. Mas pense bem: infinito é um número tão enorme que o (-1) é pequeno demais comparado a ele, é irrelevante. Por isso mesmo você tem uma indeterminação e a regra é válida.

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 11:38

Eu consultei um professor que me passou a seguinte a resolução

$\lim_{x-\infty}\frac{2x^2}{x^2-1}$

que eu não sei como ele tensformou e ficou

$\lim_{x-\infty}\frac{2x^2}{x^2 (\left(1-\frac{1}{x^2} \right)}$

QUE TAMBÉM DEU 2

vOCÊ SABA ME DIZER como ele fez essa transformação?

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 12:15

Realmente, assim é mais simples de entender. O que foi feito foi o seguinte:

Seu professor pegou o denominador, x^2 - 1

, e colocou x^2

em evidência. Veja só:

$x^2 -1 = x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2} = x^2 (1 - \frac{1}{x^2})$

Temos então:

$\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2}{x^2(1-\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{(1-\frac{1}{x^2})}$

Agora é só perceber que quando x tende ao infinito, o denominador $1 - \frac{1}{x^2}$ tende a ser 1. (note que $\frac{1}{x^2}$ é um número infinitamente pequeno nesse caso, portanto tende a zero.)

Até a próxima.

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 13:14

Eu não consegui entender essa colocação do x^2

em evidência

Por que ficou $\frac{x^2}{x^2}$ e depois ele vira $\frac{1}{x^2}$

Por que o x^2

vira 1 e o denominador continua x^2

se o

está multiplicando também.
Se o x^2

do numerador vira 1 porque o x^2

do denomimador também não vira 1

Não entendi, vc pode me explicar essa passagem?

Grato

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 13:29

Olá Mario. Isso é simples, veja só:

Concorda que x^2 . 1 = x^2

e que $\frac{x^2}{x^2} = 1$ ?

Vamos então fazer a substituição:

$x^2 -1 = x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2}$

Agora é só observarmos que x^2 multiplica os dois termos então temos que:

$x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2} = x^2 (1 - \frac{1}{x^2})$

Ou seja, x^2

multiplicado por

menos

multiplicado por $\frac{1}{x^2}$ é igual ao nosso denominador (x^2 - 1)

.

Até a próxima.

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 13:44

Agora eu entendi Douglas.
Vc é muito inteligente.

Obrigado pela ajuda.

Já que vc é bem inteligente, veja se vc consegue me ajudar nessa aqui
Dada a função
g(x)= x, se x > 1
x^3

, se x $\leq1$

A pergunta é a seguinte a função g é diferenciável em x = 1?

Grato
Mario

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 13:49

O melhor é abrir outro tópico para uma nova questão. Na verdade essa questão você mesmo postou e ela foi muito bem respondida aqui:

viewtopic.php?f=107&t=1952

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 13:52

Douglasm escreveu:O melhor é abrir outro tópico para uma nova questão, mas me diga, o que você que saber a respeito dessa função?

Dá uma olhadinha que agora eu acertei

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 13:53

Dada uma função

g(x) = x, se x >1
x^3, se $x\leq1$

A função g é diferenciável em x= 1?

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 13:54

Sim. Mas de qualquer modo, ela foi respondida pelo Elcioschin no outro tópico que você abriu, veja lá. =)

por **jmario** » Qui Abr 29, 2010 13:56

Vc não pode explicar do seu jeito, porque eu não entendi muito bem a explicação dele.

Grato
Mario

por **Douglasm** » Qui Abr 29, 2010 14:11

Para falar a verdade, eu não sei um jeito melhor de explicar isso que o dele. (Que aliás está bem elucidativo.) Se você pensar que para um função ser derivável, ela deve apresentar derivadas laterais idênticas quando x tende a um determinado valor, no seu caso o 1, verá que essa sua função que forma um "bico" não é derivável nesse ponto. Me desculpe, mas realmente não sei explicar de um jeito mais simples.

Até a próxima.

por **MarceloFantini** » Qui Abr 29, 2010 17:43

Crie um novo tópico em todo caso para tentarmos ajudá-lo, o motivo principal é pra não acumular dúvidas diferentes em um mesmo lugar, porque depois fica difícil de fazer referência.

por **victorbahia** » Dom Mai 02, 2010 16:12

Caro Mário!

Tem uma forma muito mais simples de se achar este limite.

Existe um macete que toda vez que o limite tende a infinito (ou menos infinito), basta você pegar o termo de maior grau do numerador e o termo de maior grau do denominador. Pronto...

${2x}^{2}/{x}^{2} = 2$

por **Neperiano** » Dom Mai 02, 2010 18:13

Ola

Eu postei errado confundi lim com derivada

Nesta questão, basta você pegar os termos de mais valor emcima e embaixo e dividir

2x^2/x^2=1

Se por acaso der x na resposta é sinal que o limite vai para infinito ou 0, dependendo donde estiver o x.

Atenciosamente

por **jmario** » Sex Mai 07, 2010 13:56

Douglasm escreveu:Para falar a verdade, eu não sei um jeito melhor de explicar isso que o dele. (Que aliás está bem elucidativo.) Se você pensar que para um função ser derivável, ela deve apresentar derivadas laterais idênticas quando x tende a um determinado valor, no seu caso o 1, verá que essa sua função que forma um "bico" não é derivável nesse ponto. Me desculpe, mas realmente não sei explicar de um jeito mais simples.

Até a próxima.

Eu coloquei um novo desafio de derivada Douglas, veja se vc pode me ajudar?