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cáculo de uma derivada

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Mensagempor jmario » Qua Abr 28, 2010 13:41

Como se calcula o seguinte limite

\lim_{x-\infty} \frac{2x^2}{x^2-1}

No meu gabarito a resposta é 2, mas eu não consigo chegar nesse número.
Grato
Mario
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Neperiano » Qua Abr 28, 2010 13:56

Ola

Você poderia usar a definição da derivada para resolver, mas creio ser mais facil pelas tecnicas de diferenciação

((4x)(x^2-1)-(2x^2)(2x))/(x^2-1)^2

4x^3-4x-4x^2/x^4-1
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qua Abr 28, 2010 14:14

E para calcular o limite?

No meu gabarito a resposta é 2 e eu não consigo chegar nesse número.

Grato
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qua Abr 28, 2010 15:40

Olá Mario. Creio que seja evidente que a expressão tende a 2, apesar de nunca assumir de fato este valor. Veja: quando x tende ao infinito, x²-1 tende a x² e portanto o limite é 2. Talvez fique mais claro, como disse o Maligno, se usarmos as derivadas para avaliar (a Regra de L'Hopital):

Derivando o numerador e denominador, separadamente, o limite se torna:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4x}{2x} = 2

Eu omiti o processo, mas caso reste alguma duvida é só perguntar. Até a próxima.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 09:10

O problema é que eu só posso aplicar a regra de L´Hopital quando dá uma indeterminação do tipo
\frac{\infty}{\infty} ou  \frac{0}{0}
O que não é o caso desse limite porque fica o (-1) e não dá a indeterminação.

Essa é aminha dúvida caro amigo
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 09:53

Exatamente Mario. Mas pense bem: infinito é um número tão enorme que o (-1) é pequeno demais comparado a ele, é irrelevante. Por isso mesmo você tem uma indeterminação e a regra é válida.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 11:38

Eu consultei um professor que me passou a seguinte a resolução

\lim_{x-\infty}\frac{2x^2}{x^2-1}

que eu não sei como ele tensformou e ficou

\lim_{x-\infty}\frac{2x^2}{x^2 (\left(1-\frac{1}{x^2} \right)}


QUE TAMBÉM DEU 2

vOCÊ SABA ME DIZER como ele fez essa transformação?
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 12:15

Realmente, assim é mais simples de entender. O que foi feito foi o seguinte:

Seu professor pegou o denominador, x^2 - 1, e colocou x^2 em evidência. Veja só:

x^2 -1 = x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2} = x^2 (1 - \frac{1}{x^2})

Temos então:

\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2x^2}{x^2(1-\frac{1}{x^2})} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{2}{(1-\frac{1}{x^2})}

Agora é só perceber que quando x tende ao infinito, o denominador 1 - \frac{1}{x^2} tende a ser 1. (note que \frac{1}{x^2} é um número infinitamente pequeno nesse caso, portanto tende a zero.)

Até a próxima.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 13:14

x^2Eu não consegui entender essa colocação do x^2 em evidência

Por que ficou \frac{x^2}{x^2} e depois ele vira \frac{1}{x^2}

Por que o x^2 vira 1 e o denominador continua x^2 se o x^2 está multiplicando também.
Se o x^2 do numerador vira 1 porque o x^2 do denomimador também não vira 1

Não entendi, vc pode me explicar essa passagem?

Grato
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 13:29

Olá Mario. Isso é simples, veja só:

Concorda que x^2 . 1 = x^2 e que \frac{x^2}{x^2} = 1?

Vamos então fazer a substituição:

x^2 -1 = x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2}

Agora é só observarmos que x^2 multiplica os dois termos então temos que:

x^2 . 1 - \frac{x^2}{x^2} = x^2 (1 - \frac{1}{x^2})

Ou seja, x^2 multiplicado por 1 menos x^2 multiplicado por \frac{1}{x^2} é igual ao nosso denominador (x^2 - 1).

Até a próxima.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 13:44

Agora eu entendi Douglas.
Vc é muito inteligente.

Obrigado pela ajuda.


Já que vc é bem inteligente, veja se vc consegue me ajudar nessa aqui
Dada a função
g(x)= x, se x > 1
x^3, se x \leq1

A pergunta é a seguinte a função g é diferenciável em x = 1?


Grato
Mario
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 13:49

O melhor é abrir outro tópico para uma nova questão. Na verdade essa questão você mesmo postou e ela foi muito bem respondida aqui:

viewtopic.php?f=107&t=1952
Editado pela última vez por Douglasm em Qui Abr 29, 2010 13:52, em um total de 1 vez.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 13:52

Douglasm escreveu:O melhor é abrir outro tópico para uma nova questão, mas me diga, o que você que saber a respeito dessa função?


Dá uma olhadinha que agora eu acertei
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 13:53

Dada uma função

g(x) = x, se x >1
x^3, se x\leq1

A função g é diferenciável em x= 1?
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 13:54

Sim. Mas de qualquer modo, ela foi respondida pelo Elcioschin no outro tópico que você abriu, veja lá. =)
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Qui Abr 29, 2010 13:56

Vc não pode explicar do seu jeito, porque eu não entendi muito bem a explicação dele.

Grato
Mario
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Douglasm » Qui Abr 29, 2010 14:11

Para falar a verdade, eu não sei um jeito melhor de explicar isso que o dele. (Que aliás está bem elucidativo.) Se você pensar que para um função ser derivável, ela deve apresentar derivadas laterais idênticas quando x tende a um determinado valor, no seu caso o 1, verá que essa sua função que forma um "bico" não é derivável nesse ponto. Me desculpe, mas realmente não sei explicar de um jeito mais simples.

Até a próxima.
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor MarceloFantini » Qui Abr 29, 2010 17:43

Crie um novo tópico em todo caso para tentarmos ajudá-lo, o motivo principal é pra não acumular dúvidas diferentes em um mesmo lugar, porque depois fica difícil de fazer referência.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor victorbahia » Dom Mai 02, 2010 16:12

Caro Mário!

Tem uma forma muito mais simples de se achar este limite.

Existe um macete que toda vez que o limite tende a infinito (ou menos infinito), basta você pegar o termo de maior grau do numerador e o termo de maior grau do denominador. Pronto...

{2x}^{2}/{x}^{2} = 2
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor Neperiano » Dom Mai 02, 2010 18:13

Ola

Eu postei errado confundi lim com derivada

Nesta questão, basta você pegar os termos de mais valor emcima e embaixo e dividir

2x^2/x^2=1

Se por acaso der x na resposta é sinal que o limite vai para infinito ou 0, dependendo donde estiver o x.

Atenciosamente
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Re: cáculo de uma derivada

Mensagempor jmario » Sex Mai 07, 2010 13:56

Douglasm escreveu:Para falar a verdade, eu não sei um jeito melhor de explicar isso que o dele. (Que aliás está bem elucidativo.) Se você pensar que para um função ser derivável, ela deve apresentar derivadas laterais idênticas quando x tende a um determinado valor, no seu caso o 1, verá que essa sua função que forma um "bico" não é derivável nesse ponto. Me desculpe, mas realmente não sei explicar de um jeito mais simples.

Até a próxima.


Eu coloquei um novo desafio de derivada Douglas, veja se vc pode me ajudar?
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Para derivar a função

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