[Limites de Integração] Como achar os limites de integração?

por **Miine_J** » Sáb Nov 10, 2018 03:13

Boa noite pessoal.
Então, estou tendo muita dificuldade de achar limites de integração depois de feita uma mudança de variáveis, porque nem sempre sei qual o gráfico que a mudança gera nem sei como se deveria calcular algebricamente. Vejo o pessoal fazendo certos calculos pra achar, mas n entendo qual a lógica, se alguém pudesse explicar seria ótimo. Um exemplo em que não sei como calcular:

1. Use coordenadas polares e calcule as seguintes integrais duplas:

$\int_{1}^2 \int_{0}^x (x^2+y^2)^{-1} dydx$

Os exemplos mais "triviais" são okay, mas esses exemplos q precisa de algum calculo ou coisa do tipo n entendo como deve ser feito. Pensei em substituir x^2+y^2 por r^2 mas sinceramente n sei oq fzr dps dai

por **Gebe** » Sáb Nov 10, 2018 17:36

Antes, convém lembrar que em coordenadas polares:
$\\ x=rcos(\theta)\\ y=rsen(\theta)\\ \sqrt[]{x^2+y^2}=r\\ dxdy=rd\theta dr$

Temos duas formas para avaliar essa integral, uma é redesenhar a figura a partir das integrais dadas e então reescrever as integrais nas novas coordenadas, já a outra forma é fazer a substituição das variaveis diretamente.
A segunda normalmente é menos trabalhosa, mas nem sempre.

Vamos fazer utilizando a susbstituição.

Como tu sugeriu, a função fica 1/r², precisamos então mudar os limites.

Os limites da variavel "y" são [0 , x], logo:
$\\ 0\leq y\leq x\\ Substituindo:\\ 0\leq rsen\theta \leq rcos\theta\\ \\ O\;limite\;à\;esquerda\;permanece\;inalterado\;(origem\;do\;sistema)\\ À \;direita:\\ rsen\theta \leq rcos\theta\\ \theta \leq \frac{\pi}{4}$

Agora passamos para os limites de "x", [1 , 2]:

Agora podemos montar as integrais:
$\\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\ \\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\ \\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr \\ \frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\ \\ \frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\ \\\right| \right)\\ \\ \frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\ \\\right) \right)\\ \\ \frac{\pi}{4}ln(2)$

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.

por **Miine_J** » Dom Nov 11, 2018 08:17

Gebe escreveu:
Agora podemos montar as integrais:
$\\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r^2}rd\theta dr\\ \\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{1}{r}d\theta dr\\ \\ \int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\left\frac{\theta}{r}\right|_{0}^{\frac{\pi}{4}} dr \\ \frac{\pi}{4}\int_{\sqrt[]{2}}^{2\sqrt[]{2}}\frac{1}{r} dr\\ \\ \frac{\pi}{4}\left(ln\left|2\sqrt[]{2} \right|-ln\left|\sqrt[]{2} \\ \\\right| \right)\\ \\ \frac{\pi}{4}\left(ln\left(2\sqrt[]{2} \right)-ln\left(\sqrt[]{2} \\ \\\right) \right)\\ \\ \frac{\pi}{4}ln(2)$

Espero ter ajudado, qualquer duvida deixe msg.

Sim, obrigada, ajudou sim!