Regra da cadeia para derivadas parciais

por **Maisa_Rany** » Qua Nov 07, 2018 16:47

Boa tarde! Alguém sabe me explicar como funciona o passo a passo da regra da cadeia para derivadas parciais? Obrigada!

por **Gebe** » Qua Nov 07, 2018 18:25

É bem semelhante ao feito pra uma variavel.
Quando temos uma variavel, utilizando, por exemplo, a função $y=sen\left( 2x^2 \right)$ , procedemos da seguinte forma:

-> Identificamos as funções:
y(z) = $sen\left( z(x))$

z(x) = 2x^2

-> Aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas de cada função identificada em relação a sua variavel correspondente:
$\\ \frac{d}{dx}\left( sen\left( 2x^2 \right) \right)=\frac{d}{dz}sen(z(x))*\frac{d}{dx}\left(2x^2 \right)=cos\left(z(x) \right)*4x=4xcos\left(2x^2 \right)$

No caso das derivadas parciais podemos ter funções com mais de uma variavel.
Cada variavel vai definir um caminho de derivação;
Em cada um destes caminhos vamos aplicar a regra da cadeia de uma variavel e ao fim somamos os varios caminhos.
Veja o exemplo:
$\\ z=sen\left(2x + y^2 \right)\\ \\ Sendo\; que\; x=t^3\;e\;y=t\\ \\ Calcular\; dz/dt$

z(x,y) está em função de x e y, logo podemos ter dois caminhos de derivação.

1° caminho por x : "x" é variavel e "y" é constante.
2° caminho por y : "y" é variavel e "x" é constante.

Seja h = 2x+y²

Aplicando a regra da cadeia no 1° caminho:
$\\ \frac{d}{dt}z(h)=\frac{d}{dh}\left(sen\left(h(x,y) \right) \right)*\frac{d}{dx}\left(2x+y^2 \right)*\frac{d}{dt}x\\ \\ \frac{d}{dt}z(h)=cos\left(h(x,y) \right)*2*3t^2=6t^2 cos\left(2x+y^2 \right)=6t^2 cos\left(2t^3+t^2 \right)$

Aplicando a regra da cadeia no 2° caminho:
$\\ \frac{d}{dt}z(h)=\frac{d}{dh}\left(sen\left(h(x,y) \right) \right)*\frac{d}{dy}\left(2x+y^2 \right)*\frac{d}{dt}y\\ \\ \frac{d}{dt}z(h)=cos\left(h(x,y) \right)*2y*1=2y cos\left(2x+y^2 \right)=)=2tcos\left(2t^3+t^2 \right)$

Somando-se os dois caminhos:
$\\ \frac{d}{dt}\left(sen\left(2x+y^2 \right)=6t^2 cos\left(2t^3+t^2 \right)+2tcos\left(2t^3+t^2 \right)=2tcos\left(2t^3+t^2 \right)*\left(3t+1 \right)\\ \\$

Espero que tenha ajudado, qualquer duvida deixe msg.