resolução de problema de matemática

por **mauro arkader** » Dom Abr 06, 2008 01:30

gostaria de obter respostas para algumas questões que minha filha tem q responder e eu estou fora do ensino de matemática há muitos anos, teria como me ajudar?
grato.

Em uma loja, os bombons são vendidos em pacotes de três tamanhos: pequenos, médios e grandes. O conteúdo de 12 embalagens pequenas é equivalente ao de 5 embalagens médias, e o conteúdo de 3 embalagens médias é o mesmo que o de 2 embalagens grandes. Se a embalagem grande pesa 180 g, quanto pesa uma embalagem pequena?

Caminhando com uma velocidade média de 8 km/h espero levar 10 minutos para dar uma volta no parque. Ao término da volta, notei que levei 5 minutos a mais. Qual deveria ser minha velocidade média para concluir a volta em 10 minutos?

por **admin** » Dom Abr 06, 2008 07:44

Olá Mauro, seja bem-vindo!

No primeiro exercício, os pesos das embalagens são incógnitas. O enunciado fornece a informação de como os 3 pesos se relacionam, depois fornece o peso da embalagem pequena.

Vamos nomear nossas variáveis:

: peso da embalagem pequena

: peso da embalagem média

: peso da embalagem grande

Vamos representar este trecho em duas equações:

O conteúdo de 12 embalagens pequenas é equivalente ao de 5 embalagens médias, e o conteúdo de 3 embalagens médias é o mesmo que o de 2 embalagens grandes

$\begin{matrix} 12p = 5m & \;\;(1) \\ 3m = 2g & \;\;(2) \end{matrix}$

Da equação (1) obtemos que:
$m=\frac{12p}{5}$

Vamos substituir o valor de

na equação (2):
$3\cdot\frac{12p}{5} = 2g$

$p = \frac{2\cdot 5\cdot g}{3\cdot 12}$

$p = \frac{5\cdot g}{3\cdot 6}$

$p = \frac{5g}{18}$

Aqui, utilizamos o dado:

... a embalagem grande pesa 180 g,...

$p = \frac{5 \cdot 180}{18} = 5 \cdot 10 = 50$ g

Portanto, a embalagem pequena pesa 50 g.

O segundo exercício podemos resolver com uma regra de três, apenas tomando cuidado pois velocidade média e tempo gasto são inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior a velocidade média, menor o tempo gasto, quanto menor a velocidade média, maior o tempo gasto.

Este detalhe de que as grandezas são inversamente proporcionais deve ser considerado na regra prática "regra de três", em outras palavras, uma grandeza deve ser equivalente ao inverso da outra.

Exemplos:
O inverso de 2 é $\frac12$

O inverso de $\frac25$ é $\frac{1}{\frac{2}{5}}$ que é igual a $\frac52$

Sendo:

: velocidade média da volta dada
t_1

: tempo gasto na volta dada

: velocidade média procurada

: tempo gasto com a velocidade média procurada

São dados:
$v_1 = 8 \frac{km}{h}$

t_1 = 15 min

A regra de três:
$\left\{ \begin{matrix} v_1 & \;\;\; & t_1\\ \\ v & \;\;\; & t \end{matrix} \right.$
(lê-se: v_1

equivale a t_1

, assim como

equivale a

)

$\left\{ \begin{matrix} 8 \frac{km}{h} & \;\;\; & \frac{1}{15min}\\ \\ v & \;\;\; & \frac{1}{10min} \end{matrix} \right.$

Devemos converter o tempo de minutos para horas para manter a similaridade das unidades, pensando assim:
15 minutos equivalem a $\frac14$ de hora. E 10 minutos equivalem a $\frac16$ de hora.

Reescrevendo a regra de três:
$\left\{ \begin{matrix} 8 \frac{km}{h} & \;\;\; & \frac{1}{\frac{1}{4}h}\\ \\ v & \;\;\; & \frac{1}{\frac{1}{6}h} \end{matrix} \right.$

Repare que estamos mantendo as unidades propositalmente, pois elas sofrem as mesmas operações que os números e o resultado final de

já estará na unidade correta procurada que é $\frac{km}{h}$ .

Fazendo os inversos antes da conta, apenas para facilitar:

$\left\{ \begin{matrix} 8 \frac{km}{h} & \;\;\; & 4h\\ \\ v & \;\;\; & 6h \end{matrix} \right.$

Forma final da regra de três - a conta propriamente dita:

$v = \frac{8 \frac{km}{\cancel{h}} \cdot 6\cancel{h} }{4h}$

$v = \frac{8 \cdot 6}{4} \frac{km}{h}$

$v = 2 \cdot 6 \frac{km}{h}$

$v = 12 \frac{km}{h}$

Que é a velocidade média procurada para concluir a volta em 10 minutos.

Espero ter ajudado!
Comente caso alguma dúvida surja durante a explicação para sua filha.

Bom domingo e até mais!

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