[Desigualdade] entre função exponencial e função potência

por **VitorFN** » Sex Mai 26, 2017 15:18

Tenho uma questão que está me intrigando, se alguém puder me ajudar:

Prove que uma função exponencial de base natural cresce mais rápido que qualquer função potência, desde que X seja suficientemente grande.

Ou seja, prove que $e^{x} > x^{N}$ para qualquer $n\in \mathbb{N}$ - Por exemplo, para n=10

temos: $e^{x} > x^{10}$
Utilizando o programa WolframAlpha para resolver essa condição(n=10), ele mostra que

precisa ser maior que aproximadamente 35,77, mas como resolver para qualquer

apenas utilizando operações algébricas?

Eu pensei em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, chegando à seguinte expressão: $\frac{x}{\ln(x)} > n$ a partir daí não sei como proceder.

por **adauto martins** » Sex Jul 07, 2017 12:17

$O({x}^{n})=O({x}^{n}+{x}^{n-1}+...+x+1)\prec O({x}^{n}.{x}^{n-1}....1)\prec O({n}^{x})$ ,
onde O(f(x))

mede o crescimento assimtotico de f(x) para numeros muito grande,O e dita notaçao de landau...

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