[Circunscrição de sólidos] Esfera e octaedro regular

por **adlehs** » Qui Nov 12, 2015 03:01

Calcule o perímetro P e área S da seção produzida num octaedro regular circunscrito a uma esfera de $\sqrt[]{6}$ dm de diâmetro pelo plano que contém o centro dessa esfera e que é paralelo a umas das faces do octaedro.

Por favor, me ajudem! Não estou conseguindo imaginar como deve ser essa seção...

por **adauto martins** » Sex Nov 13, 2015 16:13

como o poligono é rugilar seu angulo central sera $\theta=360/8=45$ ...o triangulo referente ao angulo central sera equilatero...logo...
seja l o lado do piligono,entao...
${l}^{2}=2.{r}^{2}-2.{r}^{2}cos45=2.{r}^{2}(1-\sqrt[]{2}/2)=2.{(\sqrt[]{6}/2})^{2}.(1-\sqrt[]{2}/2)$ $=2.(6/4).(1-\sqrt[]{2}/2)\Rightarrow l=\sqrt[]{3.(1-\sqrt[]{2}/2)}$ ...lei dos cossenos...
$p=8.l...A=8.\sqrt[]{3}{l}^{2}/2=4.\sqrt[]{3}{l}^{2}$

por **adauto martins** » Sáb Nov 14, 2015 15:00

correçao...
a soluçao apresentada anteriormente esta incorreta...
o triangulo nao é equilatero e sim isosceles...entao...
os angulos da base medem $\alpha=(180-45)/2=67.5\Rightarrow tg(67.5)\simeq 2.4$ ...
$tg\alpha=r/(l/2)\Rightarrow l=2r/tg\alpha=2.2/(2,4)\simeq 1.7 dm$ ...
p=8.l=8.1,7=13.6 dm

... $S=8.((L/2).2/2)=4.L=4.1,7=6,8 {dm}^{2}$

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