[Fatoração] Não estou conseguindo resolver esse exercício

por **Ze Birosca** » Qua Fev 04, 2015 18:55

Sendo: $x - \frac{1}{x} = 3$

dertemine o valor de $x^4 + \frac{1}{x^4}$

o gabarito marca 119, mas eu não faço a minima de ideia de como chegar a esse resultado.

A primeira coisa que eu pensei em fazer foi 3^4

, mas acho que estou errado.

por **Russman** » Qua Fev 04, 2015 20:06

Tome $x - \frac{1}{x} = a$ . Agora, elevemos ao quadrado.

$\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2 = x^2-1-1+\frac{1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2} - 2$

Portanto, $x^2+\frac{1}{x^2} = a^2 + 2$ .

Repitamos o processo.

$\left (x^2+\frac{1}{x^2} \right )^2= x^4 +1+1+\frac{1}{x^4} = x^4 + \frac{1}{x^4}+2$

Portanto, $x^4 + \frac{1}{x^4}+2 = (a^2+2)(a^2+2) \Rightarrow x^4 + \frac{1}{x^4} = (a^2+2)^2 -2$ .

Fazendo a=3 você obtém 119.

por **Ze Birosca** » Qua Fev 04, 2015 20:49

obrigado Russman, mas não estou conseguindo enteder essa parte aqui:

$\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2 = x^2-1-1+\frac{1}{x^2} = x^2+\frac{1}{x^2} - 2$

de onde vêm esse 1-1?

se eu fizesse:

$\left ( x-\frac{1}{x} \right )^2 = x^2-\frac{1^2}{x^2}$

eu estaria errando?

por **Russman** » Qua Fev 04, 2015 20:58

Certamente.

Lembre-se que (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2

para todo a e b reais.

É fácil verificar a validade desta identidade. Tome, por exemplo, a=2 e b=3. Assim,

(2+3)^2 = 2^2 + 2.2.3 + 3^2 = 4 + 12 +9 = 25

como devia ser, já que sabemos que (2+3)^2 = 5^2 = 25

.

Agora, tome a=x

e $b = -\frac{1}{x}$ .

Assim, seguindo a identidade,

$\left (x-\frac{1}{x} \right )^2= x^2 +2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x}.\frac{1}{x} =x^2+2+\frac{1}{x^2}$