[InduçãoMatemática] Duvida nessa questão!!

por **juliohenriquelima14** » Ter Nov 04, 2014 11:24

Bom dia pessoal!
Sou novo aqui no fórum, por isso ainda estou meio perdido. Primeiramente me desculpem se houver algum equivoco na postagem.
Pois bem, tenho a seguinte questão de indução matemática para resolver, consegui chegar tranquilo até o terceiro passo. Lá tem uma parte, inclusive
eu até destaquei no anexo. Eu venho pedir a ajuda de vocês para que possam analisar meu feito e fazer a devida correção se caso precisar.
Obrigado pela atenção de todos.

por **Russman** » Ter Nov 04, 2014 13:53

Esta bastante confuso de entender o que você quer/está fazendo. Explique o problema.

por **juliohenriquelima14** » Ter Nov 04, 2014 14:07

Boa tarde amigo!
Eu preciso provar por induçao a validação a equação acima
1*1+2*2¹+3*2²+...+n.2^n-1 = 1+(n-1)*2^n

Eu tenho que provar que o resultado do segundo passo vai ser igual ao resultado do terceiro passo.
Só que é exatamente onde eu estou me confundindo não consigo resolver a parte do anexo que está destacada.

por **juliohenriquelima14** » Ter Nov 04, 2014 14:08

Tentei fazer da forma acima como está no anexo, mas não sei se está correto.

por **Russman** » Ter Nov 04, 2014 15:55

Agora sim! (:

A afirmação que queremos provar é

$\sum_{n=1}^{N}n.2^{n-1} = 1 +(N-1)2^N$

Vou chamar $S(N) = \sum_{n=1}^{N}n.2^{n-1}$ .

Bem, o 1° passo da prova por indução é verificar que( como a soma começa em n=1

) a afirmação é verdadeira para N=1

. De fato,

$S(1) = 1 \Rightarrow 1.2^{1-1} = 1$

Perfeito. Agora precisamos mostrar que a afirmação é válida para N+1.

Veja que

S(N+1) = S(N) + (N+1)2^N

Mas, por hipótese, S(N) = 1 + (N-1)2^N

. Assim,

$S(N+1) = 1+(N-1)2^N + (N+1)2^N = 1 + 2^N(N+1+N-1) = 1+2^N.2N = 1+N.2^{N+1} = 1+((N+1) - 1) 2^{N+1}$

Daí, trocando N+1 por N temos

S(N) = 1+(N-1)2^N

que é a hipótese inicial.

por **Russman** » Ter Nov 04, 2014 16:09

Mais um comentário.

Não é difícil mostrar que , de fato, $\sum_{n=1}^{N}n.2^{n-1} = 1 +(N-1)2^N$ .

Considere as somas $\widetilde{S}(N,x)=\sum_{n=1}^{N}x^{n}$ e $S(N,x) = \sum_{n=1}^{N}n.x^{n-1}$ .

OBS: A sua soma de interesse é S(N,x=2)

Note que

$\frac{\partial }{\partial x}\widetilde{S}(N,x)=\sum_{n=1}^{N}\frac{\partial x^n}{\partial x} = \sum_{n=1}^{N}nx^{n-1}$

ou seja, $\frac{\partial }{\partial x}\widetilde{S}(N,x) = S(N,x)$ .

Assim, como sabemos que $\sum_{n=1}^{N}x^{n} = \frac{x(x^N-1)}{x-1}$ , (não nos preocupemos com o caso x=1), então

$S(N,x) = \frac{\partial }{\partial x} \frac{x(x^N-1)}{x-1} = \frac{1}{(x-1)^2} [x^N(N(x-1)-1)+1]$

Daí, fazendo x=2

temos

$S(N,x=2) = \frac{1}{(2-1)^2} [2^N(N(2-1)-1)+1] = 1. [2^N(N.1-1)+1)] = 2^N(N-1) + 1$

que é a afirmação que você gostaria de provar por indução.

por **juliohenriquelima14** » Ter Nov 04, 2014 16:28

Bom!!! É isso mesmo que a questão pede. Muito bom, com vocês consegui clarear bastante o entendimento.
Muito grato!

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