[Derivadas Direcionais]

por **leoflnhs** » Seg Set 08, 2014 03:22

Olá, sou novo aqui no fórum e minha dúvida é sobre como encontrar as direções em que a derivada direcional da função $f(x,y)= e^{-xy}$ no ponto (0,2) tem valor 1.

Eu tentei resolver para cair num sistema de equações para encontrar as direções a e b, fazendo o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor unitário de direções <a,b> e igualando isso a 1:

$D_{u}f(x,y)=1 \rightarrow grad f(x,y)\cdot <a,b> = 1$

$grad f(x,y) = \frac{\partial f}{\partial x}i + \frac{\partial f}{\partial x}j$

$gradf(x,y)=-y^{2}e^{-xy}i+e^{-xy}(1-x)j$

$gradf(0,2)=-2^{2}e^{-0*2}i+e^{-0*2}(1-0)j = -4i+j = <-4,1>$

$<-4,1>\cdot <a,b>=1$

$-4a+b=1$

Eu cheguei nessa equação que relaciona as direções do vetor, mas falta alguma outra equação para resolver o sistema e encontrar as direções. Alguém poderia me dar uma ajuda por favor?

por **young_jedi** » Qua Set 10, 2014 16:12

Oque acontece e que todas as direções que satisfazem essa equação são soluções do problema

por **leoflnhs** » Qua Set 10, 2014 23:23

Mas teria alguma fórmula que pudesse explicitar todas essas direções?

Encontrei esse problema no livro de Calculo do Stewart vol. 2 (6ª ed.), na página 875, exercicio 28.

por **young_jedi** » Qui Set 11, 2014 00:10

Você poderia fazer

-4a+b=1

portanto todos os vetores do tipo

(a,1+4a)

satisfazem o problema

e da uma conferida na derivada parcial pois

$\frac{\partial f}{\partial x}=-y.e^{-xy}$

e

$\frac{\partial f}{\partial y}=-x.e^{-xy}$

portanto

$\nabla f(0,2)=-2e^0.i-0.e^0.j$

por **leoflnhs** » Qui Set 11, 2014 01:06

Beleza, eu conferi aqui pelo symbolab e realmente eu tinha errado na derivada parcial do y.

Derivada parcial de y: http://www.symbolab.com/solver/step_by_step/%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20y%7D(ye%5E%7B-xy%7D)/?origin=button
Derivada parcial de x: http://www.symbolab.com/solver/step_by_step/%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial%20x%7D(ye%5E%7B-xy%7D)/?origin=button

Muito obrigado pela ajuda!

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