.A minha lógica é:
* Quando x vai pra zero sin(7x) vai pra zero tbm. Então (1 + sin(7x)) = 1
* E cot(5x) = cos(5x)/sin(5x). Temos que qnd x se aproxima de zero o denominador sin(5x) tende a zero e o numerador cos(5x) tende a 1. Aí temos que o inverso de algo muito pequeno é algo muito grande, ou seja, infinito.
* Daí eu cheguei em algo parecido com 1^(infinito)= infinito.
Observações: sou muito leigo ainda na matéria de cálculo. Então gostaria de uma explicação simples, se possível. E outra, coloquei no site wolframalpha e ele deu o resultado ( e^(7/5)).
Desde já agradeço!
![L(x) = (1+sin(7x))^{cot(5x)} = \left [(1+sin(7x))^{\frac{1}{sin(5x)} \right]^{cos(5x)}](/latexrender/pictures/376f0197ef74a57cc8e8d41fecf9ac7d.png "L(x) = (1+sin(7x))^{cot(5x)} = \left [(1+sin(7x))^{\frac{1}{sin(5x)} \right]^{cos(5x)}")
. ![ln(L(x)) = cos(5x)\frac{1}{sin(5x)} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} } =](/latexrender/pictures/9b575053fa5d3f3623d34028efa7d7e0.png "ln(L(x)) = cos(5x)\frac{1}{sin(5x)} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} } =")
![= cos(5x) \cdot \frac{1}{sin(5x)} \cdot sin(7x) \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} =](/latexrender/pictures/643a9e0844183d5ab250272404b6e648.png "= cos(5x) \cdot \frac{1}{sin(5x)} \cdot sin(7x) \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{sin(7x)}{sin(7x)} =")
![= \frac{7}{5} \cdot cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}}](/latexrender/pictures/9d0c138afa5a858f69f7471c4a0af7c4.png "= \frac{7}{5} \cdot cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}}")
. ![\frac{7}{5} \lim_{x \to 0 }cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}} = \frac{7}{5}](/latexrender/pictures/b2b066841338be27ea69a7e7de3c723f.png "\frac{7}{5} \lim_{x \to 0 }cos(5x) \cdot \frac{1}{\dfrac{sin(5x)}{5x} } \cdot \frac{sin(7x)}{7x} \cdot ln \left [1+sin(7x) \right]^{\frac{1}{sin(7x)}} = \frac{7}{5}")
.Note também que (devido a continuidade ) 
.Desta forma ,temos 
e portanto 
.
: