Limite de Sn

por **Janoca** » Ter Jun 17, 2014 03:40

Se ${S}_{n}= 1 -t + t^2 -t^3 +...+{(-1)}^{n}.{t}^{n}$ onde |t|< 1 então $\lim_{n\rightarrow\infty}{S}_{n}=$ :

a) 1;
b) $\frac{1}{1+t}$ ;
c) $+\infty$ ;
d) 1 - t;
e) $\frac{1}{2}$ .

por **Man Utd** » Ter Jun 17, 2014 11:29

Olá

Primeiramente perceba que :

$\sum_{k=0}^{n} \; x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n=\frac{(1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n)(x-1)}{(x-1)}$ $=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$

Se fizermos x=-t :

$S_{n}=1-t+t^2-t^3+t^4+ \cdots+(-1)^n t^n=\frac{(-t)^{n+1}-1}{-t-1}$

Então:

$\lim_{ n \to +\infty} \; \frac{(-t)^{n+1}-1}{-t-1}=\frac{1}{t+1}$

Pois como |t|<1 quando "n" tende a mais infinito (-t)^(n+1) tenderá a zero , Exemplo : $\lim_{x \to \infty} \; \left( \frac{1}{2} \right)^x=0$ , bastar ver no gráfico da função exponencial quando a base é entre 0 e 1 a função tende a zero quando x tende a mais infinito.

por **e8group** » Ter Jun 17, 2014 17:24

Trata-se da soma dos termos de uma progressão geométrica de razão

. Quando $n \to +\infty$ , o estudo em interesse é sobre série geométrica . Dada qualquer P.G. , sempre é possível escrever a soma dos n+1

primeiros termos em função do termo de índice n+1

e a dedução da mesma não é tão complicada assim . Para inicio de conversar , fixa a , r

qualquer com $r \neq 0$ . Agora , defina a sequência geométrica $(a_k)_{k\in \mathbb{N}}$ (aq incluindo o zero) com

a_0 = a

e $a_m = a_{m-1} \cdot r , m = 1,2,3 \hdots$ (Aq ganhamos recursividade) ou se você preferir , (o que é ideal p/ soma dos termos ) $a_m = a_0 \cdot r^m = a \cdot r^m$ . A soma dos

primeiros termos se dá por $S_n := \sum_{k=0}^n a_k = \sum_{k=0}^n (a\cdot r^k) = a + ar + ar^2 + ar^3 + \hdots + a r^n$ .

Dá segunda parcela até a ultima nota-se que todas elas contém

em comum ; deixando este numero em evidência , segue

$S_n = a + r( a +ar^2 + ar^3 + \hdots + a r^{n-1})$ .

A expressão entre parêntesis é exatamente a soma dos

primeiros termos da P.G. , ou seja ,

$S_n = a + r \cdot S_{n-1}$ . Mas , $S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \hdots + ar^{n-1} + a r^n = \underbrace{a + ar + ar^2 + ar^3 + \hdots + ar^{n-1}} _{S_{n-1}} + a r^n$ o que implica que

$S_{n-1} = S_n - a r^n$ . Logo ,

$S_n = a + r( \underbrace{ a +ar^2 + ar^3 + \hdots + a r^{n-1}}_{S_{n-1}} ) = a + r (S_n - ar^n) = a + r S_n - a r^{n+1}$ .

Isolando o número real S_n

temos

$S_n (1 - r) = a - \underbrace{ a r^{n+1} }_{a_{n+1}}$

Se $r \neq 1$ temos que $1-r \neq 0$ , podemos então dividir ambos membros por

1-r

e obter a fórmula

$S_n = \frac{a + a_{n+1} }{1-r} = \frac{a + a r^{n+1} }{1-r} = a \frac{1 +r^{n+1}}{1-r}$ .

Definimos a soma de todos os termos da sequência

$a_0 + a_1 + a_2 + \hdots = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$ pelo limite

$\lim_{n\to +\infty} \sum_{k=0}^{n} a_k = \lim_{n\to +\infty} S_n$ .

Agora , se |r| > 1

então $|r|^n > |r|^{n-1}$ . Por mais que seja grande $|r|^{n-1}$ (para n suficiente grande ) $|r|^n > |r|^{n-1}$ ; logo $\lim_{n \to +\infty} |r|^n = + \infty$ .

Caso contrário , $\lim_{n\to + \infty} |r|^n = 0$ ) (pq ??) .

Assim , podemos dizer que $\lim_{n\to + \infty} S_n = \frac{a_0}{1-r}$ sempre que |r| < 1

.

Conclusão :

Comparando $a_0 + a_1 + \hdots + a_n = a + ar + \hdots + ar^n$ com

$1 -t + t^2 + \hdots + (-1)^n t^n$ temos

a_0 = a = 1

e

.Como

por definição então o limite de S_n

é ...

Vale salientar a importância de sempre associar soma sob a forma $\sum [f(x)]^k$ a soma dos termos de uma P.G . correspondente .

por **Janoca** » Qua Jun 18, 2014 16:47

Com base no que vcs dois me ajudaram, resolvi assim para ver se facilita minha vida, verifiquem se está correto.

Primeiramente, separei em dois somatórios, pares e ímpares respectivamente ${S}_{1}$ e ${S}_{2}$ . Sendo assim ${S}_{n}$ fica igual a:

${S}_{n}= (1+t^2+t^4+...)- (t+t^3+t^5+...)$ para |t|< 1, com ${S}_{1}$ =

e ${S}_{2}$ = (t+t^3+t^5+...)

.

Sabe-se que os somatórios ${S}_{1}$ e ${S}_{2}$ são iguais ao somatório da P.G. Logo,

${S}_{1}=\frac{{a}_{1}.(q^n - 1)}{q - 1}$ e ${S}_{2}=\frac{{a}_{1}.(q^n - 1)}{q - 1}$ ; substituindo os primeiros termos dos dois somatórios e a razão, temos:

${S}_{1}=\frac{1.((t^2)^n - 1)}{t^2 - 1}$ e ${S}_{2}=\frac{t.((t^2)^n - 1)}{t^2 - 1}$ , para ${S}_{1}$ com primeiro termo

igual a 1 e razão t^2

e para ${S}_{2}$ com primeiro termo igual a t e com razão igual a t^2

.

Temos ${S}_{n}={S}_{1}-{S}_{2}$ , isso implica que:

${S}_{n}=\left[\frac{1.((t^2)^n-1)}{t^2-1}-\frac{t.((t^2)^n-1)}{t^2-1} \right]$ $\Rightarrow$

${S}_{n}=\left[\frac{((t^2)^n-1).(1-t)}{(t-1).(t+1)} \right]$ =

${S}_{n}=\left[\frac{((t^2)^n-1).(1-t)}{-(1-t).(t+1)} \right]$ =

${S}_{n}=\left[\frac{((t^2)^n-1)}{-(t+1)} \right]$ , como |t|<1 $\Rightarrow$ t^2

<1, como $\lim_{n\rightarrow\infty}(t^2)^n=0$ , conclui-se que:

$\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(t^2)^n -1}{-(t+1)} = \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{(t^2)^n}{-(t+1)} - \lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{-(t+1)} = 0 -\frac{1}{-(t+1)} = \frac{1}{t+1}$ . Está correto?

por **e8group** » Qui Jun 19, 2014 13:34

Sim , está correto .

Só tome cuidado com a notação .

Da forma que você definiu S_n

n=1,2,3... ; não pode ter S_1 = 1 + t^2 + t^4 + ...

e

. Note que a cada

natural associamos um $S_n \in \mathbb{R}$ e S_n

é único quando S_n

é a soma n primeiros termos de uma P.G ou (n+1 primeiros termos caso o °1° termo é de índice 0 ) . Mas em geral não pode se afirma que é único .

por **Janoca** » Qui Jun 19, 2014 16:29

Obrigada pela dica, santiago, vc entende de analise combinatória? queria confirmar minha resposta. tenho estudado um pouco de tudo. se vc entender, gostaria q me ajudasse, postei uma questão