Dúvida em exercicio de derivada 3

por **igones** » Ter Dez 08, 2009 12:48

Bem, muito obrigado a todos que vem me ajudando nos exercicios de derivadas, tenho mais algumas dúvidas sobre o assunto. Quem puder me explicar como faz, agradeço!

1) f(x) = x^4 + 1 / x^2
1.1) Determine as assintotas verticais e horizontais: Essa eu já fiz!
1.2) Determine o intervalo de crescimento e decrescimento: Me ajudem nessa
1.3) Determine os pontos críticos: Me ajudem nessa
1.4) Determine os pontos de Inflexão de F: Me ajudem nessa tb

Obrigado, abraços!

por **Elcioschin** » Qua Dez 09, 2009 13:47

y = x^4 + 1/x² ----> y = x^4 + x^-2

y' = 4*x³ - 2*x^-3 ----> y' = 4x³ - 2/x³ ---> y' = 0 ---> 4x³ = 2/x³ ---> x^6 = 0,5 ----> x = 0,5^(1/6) ----> x ~= + - 0,891

Note que:

1) A função será sempre positiva
20 A função é par ---> f(x) = f(-x)
3) A função passa por pontos de mínimo para x = - 0,891 e x = +0,891
4) Para x ---> + - infinito ----> y ---> + infinito
5) Para x ----> 0 ---> y ----> + infinito
6) Para x = 0 a função não é definida

Desenhe agora esta função e vc mesmo responderá as questões.

por **igones** » Qua Dez 09, 2009 21:10

Já consegui entender como fazer crescimento e decrescimento.
Mas não sei como acho os pontos de inflexão e os de minimo e maximo =/

Só explica isso, precisa resolver não, Obrigado!

por **Elcioschin** » Qua Dez 09, 2009 22:03

igones

Vc precisa entender o significado geométrico de derivada:

A derivada de uma função num ponto nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente à curva representativa da função, neste ponto.

Lembre-se que coeficiente angular m é a tangente trigonométrica do ângulo A que esta reta tangente à curva faz com o eixo X das abcissas: m = tgA

Ora, nos pontos de máximo ou mínimo da curva esta reta tangente é paralela ao eixo X, logo ----> m = tg0º ---> m = 0

Isto significa que, algebricamente falando, a derivada é NULA.

Assim, para qualquer função y, para achar os pontos de máximo e mínimo, basta derivar a função e igualar a derivada y' a zero. Neste caso vai se encontrar a abcissa x do ponto de máximo ou mínimo

Para se saber se é máximo ou mínimo basta calcular a derivada segunda y":

Se y" > 0 ----> mínimo
Se y" < 0 ----> máximo

Quando a reta tangente à curva for perpendicular ao eixo X ----> A = 90° ---> Não se define tg neste caso. Isto significa que é um ponto de inflexão.

Portanto siga o meu conselho anterior: desenhe a função e tudo se tornará claro para você.

por **igones** » Qui Dez 10, 2009 00:12

Pow cara, adorei a explicação. Explicação de livro é fod@@@ de entender, em linguagem matematica sabe!? kkkkk..
To quase por dentro de tudo de derivadas.
A prova é segunda e ele disse o assunto das questões:
1) Regra da cadeia (Valor 2,0)
2) Grafico com derivadas, achar tudo: Assintotas, intervalos de cres/decrescimento, pontos criticos e de inflexão, desenhar o gráfico, concavidadeetc.. (Valor 3,0)
3) Integral por substituição (Valor 2,0)
4) Área de grafico com integral (Valor 3,0)

Então, to com dúvida ainda em como ver se a concavidade é pra cima ou pra baixo, pode me explicar?!
Tirando integrais que to meio enferrujado e vou estudar no fim de semana!

A função que eu falei é assim: (x^4 +1)/x² //Vc entendeu o x² dividindo só o 1 né?

Abraços! :lol:

por **Luiz Augusto Prado** » Qui Dez 10, 2009 01:09

Dá pra ver de cara que x tem que ser diferente de zero pois não pode existir divisão por zero.
Mas pode existir o limite de x->0+ e de x->0-

Assintotas:
Só resolver o limite de x tentendo a -infinito e +infinito. Se este f(x) existir e tender a uma constante, estas serão as assintotas horizontais.
Depois achar os x para f(x) tentendo a +infinito e -infinito. Se existir, estas serão as assintotas verticais.

Vc saber encontrar os pontos críticos:

a derivada primeira, se f'(x) = 0 existir, estes serão os pontos máximos ou minimos locais.
a derivada segunda se f''(x) = 0 encontramos os pontos de inflexão. Estes pontos delimitam mudanças de concavidades.

Com estes pontos críticos x e os x onde são -infinito e +infinito, coloque em ordem cada um destes pontos.
-infinito < critico1 < ... < criticoN < +infinito

Marque cada um destes pontos criticos e trace fracamente cada assintota no gráfico.
Para sabermos se as regiões, delimitadas por cada ponto critico, são crescentes ou decrescentes:
escolha valores entre cada ponto crítico e resolva f'(x) onde x=criticoN. Se o sinal desta solução for negativo, então a função é decrescente nesta região. Se for positivo é crescente.
Se escolher um dos pontos criticos dessa f'(x), não poderemos definir se cresce ou decresce porque o resultado de f'(x) será zero.

Para sabermos se as regiões, delimitadas por cada ponto critico, tem convidade para cima ou para baixo:
escolha valores entre cada ponto crítico e resolva f''(criticoN). Se o sinal desta solução for negativo, então a concavidade é para baixo nesta região. Se for positivo é para cima.
Os exatos pontos criticos dessa f''(x) não podem dizer se a concavidade é crescente ou decrescente.
Se escolher um dos pontos criticos encontrados na f''(x)=0, não poderemos definir se cresce ou decresce porque o resultado de f''(x) será zero.

Regra da cadeia:
[ f(g(x)) ]' = f'(g(x))*g'(x)

A matéria de integral é muito grande para passar aqui.
http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral
Eu gostei da explicação deste site:
http://pessoal.sercomtel.com.br/matemat ... tegral.htm

por **igones** » Qui Dez 10, 2009 01:34

Brigado msm cara!
Não vou dormir até dominar grafico com derivadas!

Abraços!

por **igones** » Qui Dez 10, 2009 02:03

Mais uma dúvidazinha rápida:
Por favor,
Me digam o intervalo de crescimento e decrescimento e os pontos de inflexão dessa função:
f(x) = e^(-x²/2) [e elevado a -x²/2]
$e^-x^2/2$
Pra agilizar pra vcs, já calculei as derivadas de 1ª e 2ª ordem:
To tentando usar o latex, mas tá meio ruim, tentem ler a fórmula sem ele...

f'(x) = -x. e^(-x²/2)
f '(x) = $-x. e^(-x^2/2)$

f ''(x) = e^-x²/2 * (x² - 1) [os parenteses mutiplica o e e nao o expoente!!]
f ''(x) = $e^-x^2/2$ * (x² - 1)

Abraços!!!

por **Luiz Augusto Prado** » Sex Dez 11, 2009 01:56

f(x)=e^{\frac{-x^2}{2}}
$f(x)=e^{\frac{-x^2}{2}}$
f'(x)=-x*e^{\frac{-x^2}{2}}
$f'(x)=-x*e^{\frac{-x^2}{2}}$
f''(x)=(x^2-1)*e^{\frac{-x^2}{2}}
$f''(x)=(x^2-1)*e^{\frac{-x^2}{2}}$

por **Luiz Augusto Prado** » Sex Dez 11, 2009 01:57

2° ) existe x que solucione isso?
$f''(x)=(x^2-1)*e^{\frac{-x^2}{2}}=0$
x=1 ou x=-1

então coloca ai os valores que vc achou para as assintotas e os da derivada 1ª