Função Logaritmica

por **nessitahfl** » Qui Abr 17, 2014 11:06

O exercício já possui resposta, porém não consegui entender o raciocínio. Alguém poderia explicar de outra forma? Obrigada.

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por **e8group** » Qui Abr 17, 2014 23:02

A função logarítmica é estritamente monótona , o que isto significa ?

R. Ela é estritamente crescente ou estritamente decrescente . O primeiro caso ocorre quando a base do logaritmo é maior que 1 e no segundo caso ocorre quando a base é maior que zero e menor que 1 .Veremos por que isto ocorre , antes porém , vamos revisar o que significa dizer função monótona .

Seja

uma função real .

i)

é decrescente se para todo a > b

do domínio de

implica $f(a) \leq f(b)$
ii)

é crescente se para todo a > b

do domínio de

implica $f(a) \geq f(b)$

Quando dizemos que a função é estritamente crescente (ou decrescente ) , isto é para enfatizar a injetividade da função . Quando adicionamos a palavra estritamente , a igualdade em (i) e (ii) nunca ocorrerá .

Fixe $0 < b \neq 1$ e definiremos f por y = f(x) = log_b(x) , x > 0

.

Por definição , $y = log_b(x) \iff x = b^y= b^{f(x)}$ .

Se b > 1

. Daí se

implica $b^{f(x_0)} > b^{f(x_0)} \implies b^{f(x_0) - f(x_1)} > 1$ . Como b > 1

então , $b^{f(x_0) - f(x_1)} > 1$ somente se f(x_0) - f(x_1) > 0

o que mostra que f(x_0) > f(x_1)

. Acabamos de mostrar que $x_0 > x_1 \implies f(x_0) > f(x_1)$ ;logo

é estritamente crescente .

Está abstrato ??

Tome b = 2

, agora avalie 2^x

para valores positivos e negativos de

.

Se

, fazendo as mesmas contas vamos chegar em $b^{f(x_0) - f(x_1)} > 1$ .Como $b \in (0,1)$ então $b^{f(x_0) - f(x_1)} > 1$ se o expoente for negativo , daí f(x_0) - f(x_1) < 0

. Acabamos de mostrar que $x_0 > x_1 \implies f(x_0) < f(x_1)$ ; logo

é estritamente decrescente .

Exemplificar : Tome b = 0.5

, $(0.5)^{-1} = 2 > 1$ e (0.5)^2 = 0.25 < 1

.

Em resumo : A função logarítmica será estritamente crescente (respectivamente estritamente decrescente ) quando a base do logaritmo for um número maior que 1 (respecti. maior que zero e menor que 1 ) .

No exercício note que 5 > 2

e $log_{2^{x-1}-1} 5 < log_{2^{x-1}-1} 2$ . Pela teoria acima , devemos ter $0<2^{x-1}-1 < 1$ .

Espero que fique claro .

por **Russman** » Qui Abr 17, 2014 23:40

Não deixe a notação assustar. Simplificando as coisas, vamos tomar $2^{x-1} -1 = b$ . Daí, sabemos que o logaritmo de 5 nessa base é menor que o de 2 nessa mesma base. Essa é a informação do problema!

$\log_b 5 < \log_b 2$

Agora, lembre-se da propriedade $\log a - \log b = \log (\frac{a}{b})$ . Assim, voltando a relação do exercício,

$\log_b 5 - \log_b 2 < 0$
$\log_b (\frac{5}{2}) < 0$

Quando que o logaritmo de algum número pode ser negativo? Aprende-se no colégio que isso somente acontece se o número ao qual se aplica o logaritmo é um número menor que 1. Porém, $\frac{5}{2} >1$ . E agora? Será q não tem solução? A informação que está ausente no que se aprende no colégio é: o log pode ser negativo mesmo que o "logaritmando" seja maior que 1 desde que a BASE a qual ele está sendo calculado seja menor que 1. Está aí nosso detalhe.

Façamos um exercício rápido. Tomemos três reais positivos a,x

e

. Por hipótese, tomemos a>1

e

de modo que $\frac{1}{a} <1$ . ( Você concorda com isso? Se não, é só testar: 1/10<1, 1/25<1, 1/2 <1,...). Agora, suponhamos que os números se relacionem da seguinte forma:

$\left (a \right )^x=c$

Mas, lembrando que $\left (\frac{1}{a} \right ) = a^{-1}$ , então deve ser verdade que

$\left (\frac{1}{a} \right )^{-x} = c$ .

Daí,

$\log_{\left (\frac{1}{a} \right )} c = - x$ .

Então, esta claro que no exercício a base deve ser um número positivo e menor do que 1. De onde, segue a resolução.

por **nessitahfl** » Ter Abr 22, 2014 10:48

Obrigada pela resposta!

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