[Equações do 3º grau] - Resolução

por **silviopuc** » Dom Dez 01, 2013 16:42

Não consegui chegar no gabarito. Alguém poderia ajudar, por favor!

Se $\alpha, \beta e \gamma$ são raízes da equação $2{x}^{3}+3{x}^{2}+2x+4=0$ , então $\left(\alpha+\beta \right)\left(\alpha+\gamma \right)\left(\beta+\gamma \right)$ é igual a:
$a) \frac{1}{2} b) -\frac{1}{2} c) \frac{1}{4} d)-\frac{1}{4} e) 1$

Gabarito: A

por **e8group** » Dom Dez 01, 2013 18:43

Só por simplicidade vamos trocar alpha ,beta ,gamma respect. por a,b,c .

Expandindo (a+b)(a+c)(b+c)

teremos

a^2 b+a b^2+a^2 c+2 a b c+b^2 c+a c^2+b c^2

(1) (muito obrigado Wolfram alpha ! ) ,agorá é só "brincar" com os a,b,c de modo a usar as Relações de Girard que estabelece uma relação entre as raízes de um polinômio e os seus coeficientes . De acordo com estas relações ,dada equação polinomial $\delta x^3 + \gamma x^2 + \epsilon x + \lambda = 0 ,\delta \neq 0$ cuja raízes reais são a,b,c

,temos os resultados : $\begin{cases} a+b+c = - \frac{\gamma}{\delta } \\ ab + ac + bc = \frac{\epsilon}{ \delta } \\ abc = - \frac{\lambda}{\delta} \end{cases}$ .

Seja Q = a^2 b+a b^2+a^2 c+2 a b c+b^2 c+a c^2+b c^2

, segue

Q = [a(ab) + a(ac) + a(bc) ] + [b(ab) + b(bc) ] + [c(ab) + c(ac) + c(cb)]

e add

nos dois lados da igualdade

Q +abc = [a(ab) + a(ac) + a(bc) ] + [b(ab) + b(ac)+ b(bc) ] + [c(ab) + c(ac) + c(cb)]

e assim obtemos

Q + abc = (a+b+c)(ab+ ac + bc)

e portanto

Q = (a+b+c)(ab+ ac + bc) - abc

Se não errei contas é isso . Tente concluir .

por **silviopuc** » Ter Dez 03, 2013 00:06

Muito obrigado!

santhiago escreveu:Só por simplicidade vamos trocar alpha ,beta ,gamma respect. por a,b,c .

Expandindo teremos

(1) (muito obrigado Wolfram alpha ! ) ,agorá é só "brincar" com os a,b,c de modo a usar as Relações de Girard que estabelece uma relação entre as raízes de um polinômio e os seus coeficientes . De acordo com estas relações ,dada equação polinomial $\delta x^3 + \gamma x^2 + \epsilon x + \lambda = 0 ,\delta \neq 0$ cuja raízes reais são ,temos os resultados : $\begin{cases} a+b+c = - \frac{\gamma}{\delta } \\ ab + ac + bc = \frac{\epsilon}{ \delta } \\ abc = - \frac{\lambda}{\delta} \end{cases}$ .

Seja , segue

e add nos dois lados da igualdade

e assim obtemos

e portanto

Se não errei contas é isso . Tente concluir .

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