Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2]

por **Costa43** » Sex Nov 01, 2013 17:29

Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2]

Queria resolucao , já que não consigo entender o porq do resultado ser pi.

RESPOSTA :pi

por **e8group** » Sex Nov 01, 2013 23:30

Note que pela identidade trigonométrica fundamental $sin^2 \gamma + cos^2\gamma = 1 , \forall \gamma$ .Se tomarmos então $x = sin^2\gamma$ ,teremos que

$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1 - sin^2\gamma} = \sqrt{ cos^2 \gamma} = | cos\gamma |$ já que $cos(\gamma)$ assume valores negativos quanto positivos .Mas , para

em $[1/2,\sqrt{3}/2]$ tem-se sempre $cos\gamma > 0$ , pois :

(1)
$sin(30^{\circ}) = cos(60^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^{\circ})= cos(30^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{6})$ .

(2) A função cosseno é contínua em $[1/2,\sqrt{3}/2]$ .

Então :

$\sqrt{1-x^2} = cos\gamma$ .Como $x = sin\gamma \implies dx = cos \gamma d\gamma$ ,segue

$6 \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} 1/\sqrt{1-x^2} dx = 6 \int_{\pi/6}^{\pi/3} d\gamma = 6 \gamma\big|_{\pi/6}^{\pi/3} = 6 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \pi$ .

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por **Costa43** » Dom Nov 03, 2013 13:12

santhiago escreveu:Note que pela identidade trigonométrica fundamental $sin^2 \gamma + cos^2\gamma = 1 , \forall \gamma$ .Se tomarmos então $x = sin^2\gamma$ ,teremos que

$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1 - sin^2\gamma} = \sqrt{ cos^2 \gamma} = | cos\gamma |$ já que $cos(\gamma)$ assume valores negativos quanto positivos .Mas , para em $[1/2,\sqrt{3}/2]$ tem-se sempre $cos\gamma > 0$ , pois :

(1)
$sin(30^{\circ}) = cos(60^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^{\circ})= cos(30^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{6})$ .

(2) A função cosseno é contínua em $[1/2,\sqrt{3}/2]$ .

Então :

$\sqrt{1-x^2} = cos\gamma$ .Como $x = sin\gamma \implies dx = cos \gamma d\gamma$ ,segue

$6 \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} 1/\sqrt{1-x^2} dx = 6 \int_{\pi/6}^{\pi/3} d\gamma = 6 \gamma\big|_{\pi/6}^{\pi/3} = 6 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \pi$ .

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