Integral polar

por **Aniinha** » Qui Fev 14, 2013 17:25

Oi gente, me tirem uma dúvida :
A questão pede pra calcular a integral usando coordenadas polares.

$\int\limits_{0}^4 \int\limits_{0}^\sqrt{4y-y^2}$ x^2+y^2 dxdy

Eu achei intervalo $0\leq r\leq 4$ e $0\leq O\leq pi/2$

mas qnd integro , o resultado da 32pi

e não

que é a resposta :/
Me ajudem se o intervalo estiver errado pf !
Obrigada !

por **young_jedi** » Sex Fev 15, 2013 20:47

analisando a integral vemos que o intervalo em x é determinado por

x=0

e

$x=\sqrt{4y-y^2}$

dessa equação tiramos

x^2=4y-y^2

isso corresponde a semicirulo de raio 2 com centro em (0,2)

portanto nos temos que

$x=r.cos(\theta)$

$y=r.sen(\theta)$

então

$(r.cps(\theta))^2+(r.sen(\theta)-2)^2=2^2$

$r^2.cos^(\theta)+r^2.sen^2(\theta)-4r.sen(\theta)+4=4$

$r^2(cos^2(\theta)+sen^(\theta))-4r.sen(\theta)=0$

$r^2-4r.sen(\theta)=0$

$r^2=4r.sen(\theta)$

$r=4.sen(\theta)$

portanto a integral fica

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{4.sen(\theta)}r^2.r.dr.d\theta$

tente resolver e comente as duvidas