Progressão Geométrica, envolvendo nºs complexos

[Loretto]

Dado o complexo z = -?2 / 2 + i?2/2 , calcule :

c) 1 + z + z² + z^3 + ....+ z^23

Tentei jogar na forma trigonométrica, mas calcule z^20 e depois z^3 , assim :

Rô = ? ( -?2/2 )^2 + (?2/2)^2
Rô = ?1/2 + 1/2 = ?1 = 1

Z^n = 1^n . ( cos (-n.?/4) + i.sen ?/4)
Z^20 = 1^20.[ cos (-20?/4) + i.sen (20?/4)]
Z^20 = -1 + 0.i
Agora, calculando Z^3

Z^3 = 1^3.[cos (3?/4) + i.sen (3?/4)]
Z^3 = -?2 / 2 + i?2/2
Assim, Z^20 . Z^3 = Z^23

(-1 + 0.i) . (-?2 / 2 + i?2/2) = ?2 / 2 - i?2/2
Passando para a Fórmula da SOMA GERAL DA P.G. :

Sn = a1 . (q^n - 1) / (q - 1)
S23 = Z. (Z^22 - 1) / (Z - 1)
S23 = (-?2 / 2 + i?2/2) . (1i - 1) / (-?2 / 2 - 1 + i?2/2)
S23 = (-?2 / 2 + i?2/2) . (1i - 1) / (-?2 -2 / 2 + i?2/2)
S23 = -?2i / ( -?2 -2 / 2 + i?2/2)
S23 = (0/-?2 -2 / 2) + ( -?2i / i?2/2)
S23 = - 1/2

1 + S23 = 1 - 1/2 = 1/2

[Elcioschin]

Refazendo suas contas:

O termo real de z é - V2/2

z = - V2/2 + i*V2/2 ----> z = cos135º + i*sen135º

z^23 = cos(23*135º) + i*sen(23*135º) ----> z^23 = cos3105º + i*sen3105º ----> z^23 = cos225º + i*sen225º ----> z^23 = - V2/2 - i*V2/2

Continue a partir daí