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(ITA-SP) Elementos da diagonal principal do inverso

(ITA-SP) Elementos da diagonal principal do inverso

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 23, 2010 18:15

Sejam as matrizes reais de ordem 2,

A= 
\begin{pmatrix}
   2+a & a  \\ 
   1 & 1 
\end{pmatrix}

B = 
\begin{pmatrix}
   1 & 1  \\ 
   a & 2 + a 
\end{pmatrix}

então, a soma dos elementos da diagonal principal de (AB)^-1 é igual a:

gabarito: 1/4 (5+2a+a^2)

Então, eu achei oq está dentro do parênteses como resposta.. não entendi o porquê do "1/4"
alguém pode fazer pra mim? obrigada ;)
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Re: (ITA-SP) Elementos da diagonal principal do inverso

Mensagempor Douglasm » Qua Jun 23, 2010 18:59

Olá Carolzinha. Essa dá um pouco de trabalho, mas vamos lá. Primeiramente façamos o produto AB (eu vou passar batido pelas contas mais básicas, para evitar fazer um post imenso):

AB = \begin{pmatrix} (2+a+a^2) & (2+3a+a^2) \\ (1+a) & (3+a)\end{pmatrix}

Sabemos que a inversa é igual a:

(AB)^{-1} = \frac{1}{det\;AB} . (AB')^{t}

(AB')^{t} = \mbox{transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta)}

Vamos calcular de uma vez o det AB:

det AB = (2+a+a^2)\;.\;[(1+a) + 2]\; - \; [(2+a+a^2) + 2a]\;.\;(1+a) = 4+2a+2a^2 - 2a - 2a^2 = 4

Agora vamos à matriz dos cofatores:

AB' = \begin{pmatrix} (3+a) & -(1+a)  \\ -(2+3a+a^2)  & (2+a+a^2)  \end{pmatrix}

Fazendo a transposta desta, chegamos a adjunta:

(AB')^{t} = \begin{pmatrix} (3+a) & - (2+3a+a^2) \\ -(1+a)  & (2+a+a^2)  \end{pmatrix}

Finalmente chegamos a inversa:

AB^{-1} = \frac{1}{4} \; . \; \begin{pmatrix} (3+a) & - (2+3a+a^2) \\ -(1+a)  & (2+a+a^2)  \end{pmatrix}

Deste modo, a soma dos elementos da diagonal principal é:

S = \frac{5 + 2a + a^2}{4}

E é isso ai. Até a próxima.
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Re: (ITA-SP) Elementos da diagonal principal do inverso

Mensagempor Carolziiinhaaah » Qua Jun 23, 2010 19:42

Perfeito *-*
Saquei onde eu estava errando, Douglas
eu estava esquecendo de fazer a transposta da matriz dos cofatores
obrigada, mais uma vez! :D
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.