Olá Christianobelli, seja bem-vindo!
Ainda é necessário dizer que este determinante deve ser nulo para encontrarmos a equação geral da reta:
Então, além da importância da sua pergunta, também valeria o comentário sobre o "zero".
Há um conjunto de argumentos que justificam esta coluna com 1.
Vamos caminhar por eles e após este percurso, sua pergunta estará respondida.
O primeiro passo é retornar um pouco no conceito da
condição para alinhamento de três pontos.
De fato, sua pergunta surge nesta condição, pois a obtenção da equação da reta é nada mais do que a utilização deste teorema:
Três pontos
,
e
, são colineares se, e somente se:
Perceba que na obtenção da equação geral da reta, B e C são pontos distintos do plano cartesiano, de modo que
são números reais (constantes) conhecidos. E se o ponto
percorre a reta, então
e
são variáveis.
Esta condição de colinearidade entre os três pontos, é que nos permite obter a equação geral da reta daquela forma.
Então, agora podemos discutir sobre a coluna completada com 1, refletindo sobre a condição para alinhamento de três pontos.
Para isso, vamos procurar "descobrir" quais deveriam ser os números
,
e
:
Devemos nos perguntar: quais as formas possíveis do alinhamento entre três pontos distintos, em relação aos eixos?
Há três possibilidades, em uma delas os A, B e C possuem a mesma ordenada, ou seja, estão alinhados horizontalmente, de modo que:
Lembrando de outra propriedade que também pode ser demonstrada é que se uma matriz M, de ordem
, tem duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) formadas por elementos respectivamente
proporcionais, então det M = 0.
Neste caso atual que estamos analisando, procuramos
,
e
que sejam respectivamente proporcionais a
,
e
, mas
, com
, o que implica em
como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
A nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 2ª e 3ª colunas.
Em outra possibilidade, A, B e C possuem a mesma abscissa, ou seja, estão alinhados verticalmente, de modo que:
:
Analogamente, neste caso, procuramos
,
e
que sejam respectivamente proporcionais a
,
e
, mas
, com
, também implicando em
como a única possibilidade que atende à proporcionalidade.
Aqui, a nulidade do determinante é conseqüência da proporcionalidade entre a 1ª e 3ª colunas.
A terceira possibilidade para o alinhamento dos pontos ocorre quando a reta que os contém, não é paralela nem ao eixo x, nem ao eixo y:
Pela semelhança dos triângulos ABD e BCE, temos a seguinte proporção:
E utilizando as coordenadas:
Fazendo a distributiva:
E comparando com o determinante, para obtermos
,
e
:
Para que
e reordenando as parcelas:
e
.
Vale ressaltar que consideramos pontos A, B e C distintos.
Caso dois dos pontos sejam coincidentes, a matriz terá um par de linhas iguais, e, analogamente, a nulidade do determinante resultará que
, da mesma forma.
Também cabe uma demonstração para a recíproca (volta
) do teorema que é verdadeira, ou seja, se
, A, B e C são colineares.
Veja que além de termos provado o teorema (ida
) de que três pontos
,
e
, são colineares se, e somente se:
Fizemos o questionamento sobre
,
e
, supondo desconhecer que a 3º coluna possui os termos iguas a 1:
E verificamos que para que as condições da colinearidade sejam atendidas, em todos os casos possíveis, necessariamente,
.
Por fim, retornando ao caso da obtenção da equação geral da reta, conforme comentado, o que ocorre é uma utilização direta deste teorema, considerando que os dois pontos conhecidos
e
pentencem à reta.
Consideramos um ponto genérico
que percorre toda a reta e estabelecemos a condição de colinearidade do teorema aos outros dois conhecidos, ficando:
O desenvolvimento deste determinante resultará na equação geral da reta:
Christianobelli, devo comentar que muitas vezes as perguntas mais simples não possuem respostas tão diretas.
De qualquer forma, espero ter ajudado!