Cálculo de limites trigonométricos

por **lucas92** » Sex Abr 09, 2010 07:21

Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

${\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}$

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, $\frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)}$ , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, ${\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}$ . Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é $\frac{4}{{\pi}^{2}}$ . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado

por **Neperiano** » Sex Abr 09, 2010 11:03

Ola

lucas92 escreveu:Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

${\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}$

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, $\frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)}$ , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, ${\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}$ . Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é $\frac{4}{{\pi}^{2}}$ . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado

Primeiro corte tudo o que pode, ficara

(2(-1))^2 emcima
(sen(pi)) embaixo

Multiplique emcima e embaixo

(-2)^2
(senpi)

4/pi^2,

Quanto ao seno acredito que ele desaparece, ainda não sei explicar porque mas pesquisarei, espero ter ajudado

por **Neperiano** » Sex Abr 09, 2010 11:07

Ola

Ja axei

Lim sen(x)/x = 1
x-0

Ou seja no momento em quer cortar o x na questão automaticamente corte o seno tambem, o resultado sera 1

Atenciosamente

por **Douglasm** » Dom Abr 11, 2010 16:39

Olá lucas92. Para encontrar o limite abaixo, eu usei a regra de L'Hopital (assunto estudado em derivadas, caso haja duvidas sobre o método é só consultar um livro de cálculo). Comecemos:

Podemos observar que:

$\lim_{x\rightarrow 1} [2(x-1)]^2 = 0$ ; $\lim_{x\rightarrow 1} sen^2 \pi x = 0$

Essas são as condições necessárias para aplicarmos a regra de L'Hopital, e devemos agora derivar as equações (as derivamos separadamente, não utilizamos aqui a regra do quociente), mas primeiro vamos arrumá-las:

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left( {\frac{2(x-1)}{sen \pi x}} \right)^2$

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right)$

Comecemos a derivar:

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4.2(x-1)}{2. \pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right)$

Agora vamos derivar mais uma vez (é importante prestar bastante atenção na derivada da função seno acima e na próxima em que deveremos aplicar a regra do produto):

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi .\pi (cos^2 \pi x - sen^2 \pi x)}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2 (cos2 \pi x )}}\right)$

Finalmente:

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2 (cos2 \pi x )}}\right) = \frac{4}{\pi^2}$

Obs: É importante lembrar que para podermos continuar derivando como fizemos nesse exercício a 1ª condição (a de que f(x)/g(x) seja uma indeterminação) seja satisfeita também para a derivada, como é o caso aqui.

$\lim_{x\rightarrow 1} 4(x-1) = 0$ ; $\lim_{x\rightarrow 1} \pi . sen \pi x . cos \pi x = 0$

$\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \frac{0}{0}$

Caso tenha dúvidas sobre algum procedimento usado, me diga! Até a próxima.

por **lucas92** » Seg Abr 12, 2010 03:06

Oi gente, já consegui resolver o problema. Não fiz nada além de trocar a variável. Como o limite envolve uma função trigonométrica, temos que destrinchar esse limite par que apareça o limite trigonométrico fundamental: $\lim_{x\rightarrow0}\frac{senx}{x} = 1$ .
Como no problema, a variável não tende a zero, tende a 1, vamos transformar a varíável x.

Fazendo x-1=t

, temos que x=t+1

. E se $x\rightarrow1$ , então $t\rightarrow0$ . Substituindo x-1

por

, e

por $\left(t+1 \right)$ , ficamos com:

$\lim_{x\rightarrow1} {\left[\frac{2\left(x-1 \right)}{sen\left(\pi x \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen\left[\pi \left(t+1 \right) \right] \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \left(\pi t+\pi \right)} \right]}^{2} =$

$=\lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \pi t.cos\pi+sen \pi .cos\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{-sen\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2t.\pi}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} =$

$=\lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2\pi t}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{\left(-\pi \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2}{-\pi} \right]^2 = \frac{4}{{\pi}^{2}}$ .

Valeu para quem me ajudou.

por **Douglasm** » Seg Abr 12, 2010 10:32

Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

$\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2$

O resultado seria a indeterminação $\frac{0}{0}$ (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1$ e não $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x}$ (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.

por **lucas92** » Ter Abr 13, 2010 01:13

Douglasm escreveu:Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

$\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2$

O resultado seria a indeterminação $\frac{0}{0}$ (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1$ e não $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x}$ (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.

Realmente, quando calculei esse limite

$\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right)$

subentendi, que ele daria 1. Observe:

Vamos pensar assim: se $t\rightarrow0$ , então $\pi t\rightarrow0$ , concorda? Aí ficamos com:

$\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen \pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left[\frac{1}{\frac{sen \pi t}{\pi t}} \right] = \frac{1}{1} = 1$ .

Então, repare que eu não simplesmente "cortei" a indeterminação do nada, simplesmente, subentendi algumas passagens para o cálculo do limite que realmente é 1.