Olá lucas92. Para encontrar o limite abaixo, eu usei a
regra de L'Hopital (assunto estudado em derivadas, caso haja duvidas sobre o método é só consultar um livro de cálculo). Comecemos:
Podemos observar que:
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Essas são as condições necessárias para aplicarmos a regra de L'Hopital, e devemos agora derivar as equações (as derivamos separadamente, não utilizamos aqui a regra do quociente), mas primeiro vamos arrumá-las:
Comecemos a derivar:
Agora vamos derivar mais uma vez (é importante prestar bastante atenção na derivada da função seno acima e na próxima em que deveremos aplicar a regra do produto):
Finalmente:
Obs: É importante lembrar que para podermos continuar derivando como fizemos nesse exercício a 1ª condição (a de que f(x)/g(x) seja uma indeterminação) seja satisfeita também para a derivada, como é o caso aqui.
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Caso tenha dúvidas sobre algum procedimento usado, me diga! Até a próxima.