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Cálculo de limites trigonométricos

Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Sex Abr 09, 2010 07:21

Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

{\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, \frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)} , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, {\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}. Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é \frac{4}{{\pi}^{2}} . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 09, 2010 11:03

Ola

lucas92 escreveu:Oi, gente. Eu estava aqui tentando calcular esse limite:

{\lim_{x\rightarrow1}{\left(\frac{2(x-1)} {sen (\pi x)} \right)}^{2}

Encontrei zero como resultado baseado em esse ser um limite do produto de uma função limitada envolvendo seno, \frac{1}{{sen}^{2}\left(\pi x \right)} , por uma infinitésima cujo limite vai a zero, {\left[2\left(x-1 \right) \right]}^{2}. Só que para minha surpresa, no gabarito a resposta é \frac{4}{{\pi}^{2}} . Como eu chegaria a essa resposta? Não faço a mínima ideia.

Obrigado



Primeiro corte tudo o que pode, ficara

(2(-1))^2 emcima
(sen(pi)) embaixo

Multiplique emcima e embaixo

(-2)^2
(senpi)

4/pi^2,

Quanto ao seno acredito que ele desaparece, ainda não sei explicar porque mas pesquisarei, espero ter ajudado
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Neperiano » Sex Abr 09, 2010 11:07

Ola

Ja axei

Lim sen(x)/x = 1
x-0

Ou seja no momento em quer cortar o x na questão automaticamente corte o seno tambem, o resultado sera 1

Atenciosamente
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Dom Abr 11, 2010 16:39

Olá lucas92. Para encontrar o limite abaixo, eu usei a regra de L'Hopital (assunto estudado em derivadas, caso haja duvidas sobre o método é só consultar um livro de cálculo). Comecemos:

Podemos observar que:

\lim_{x\rightarrow 1} [2(x-1)]^2 = 0 ; \lim_{x\rightarrow 1} sen^2 \pi x = 0

Essas são as condições necessárias para aplicarmos a regra de L'Hopital, e devemos agora derivar as equações (as derivamos separadamente, não utilizamos aqui a regra do quociente), mas primeiro vamos arrumá-las:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left( {\frac{2(x-1)}{sen \pi x}} \right)^2 =

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right)

Comecemos a derivar:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)^2}{sen^2 \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4.2(x-1)}{2. \pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) =  \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right)

Agora vamos derivar mais uma vez (é importante prestar bastante atenção na derivada da função seno acima e na próxima em que deveremos aplicar a regra do produto):

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi .\pi (cos^2 \pi x - sen^2 \pi x)}}\right) = \lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2  (cos2 \pi x )}}\right)

Finalmente:

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4}{\pi^2  (cos2 \pi x )}}\right) = \frac{4}{\pi^2}

Obs: É importante lembrar que para podermos continuar derivando como fizemos nesse exercício a 1ª condição (a de que f(x)/g(x) seja uma indeterminação) seja satisfeita também para a derivada, como é o caso aqui.

\lim_{x\rightarrow 1} 4(x-1) = 0 ; \lim_{x\rightarrow 1} \pi . sen \pi x . cos \pi x = 0

\lim_{x\rightarrow 1} {\left({\frac{4(x-1)}{\pi . sen \pi x . cos \pi x}}\right) = \frac{0}{0}

Caso tenha dúvidas sobre algum procedimento usado, me diga! Até a próxima.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Seg Abr 12, 2010 03:06

Oi gente, já consegui resolver o problema. Não fiz nada além de trocar a variável. Como o limite envolve uma função trigonométrica, temos que destrinchar esse limite par que apareça o limite trigonométrico fundamental: \lim_{x\rightarrow0}\frac{senx}{x} = 1.
Como no problema, a variável não tende a zero, tende a 1, vamos transformar a varíável x.

Fazendo x-1=t, temos que x=t+1. E se x\rightarrow1, então t\rightarrow0. Substituindo x-1 por t, e x por \left(t+1 \right), ficamos com:

\lim_{x\rightarrow1} {\left[\frac{2\left(x-1 \right)}{sen\left(\pi x \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen\left[\pi \left(t+1 \right) \right] \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \left(\pi t+\pi \right)} \right]}^{2} =

=\lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{sen \pi t.cos\pi+sen \pi .cos\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{2t}{-sen\pi t} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2t.\pi}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} =

=\lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2\pi t}{\left(-sen\pi t \right).\pi} \right]^{2} = \lim_{t\rightarrow0} {\left[\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{\left(-\pi \right)} \right]}^{2} = \lim_{t\rightarrow0} \left[\frac{2}{-\pi} \right]^2 = \frac{4}{{\pi}^{2}}.

Valeu para quem me ajudou.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Seg Abr 12, 2010 10:32

Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2

O resultado seria a indeterminação \frac{0}{0} (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é \lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1 e não \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x} (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor lucas92 » Ter Abr 13, 2010 01:13

Douglasm escreveu:Olá lucas92. Olhei sua resolução e não entendi o último passo:

\lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{\pi t}{sen \pi t} . \frac{2}{{- \pi}}\right)^2 = \lim_{t\rightarrow 0} {\left(\frac{2}{{- \pi}}\right)^2

O resultado seria a indeterminação \frac{0}{0} (que não pode ser simplesmente cortada). Se falares do limite trigonométrico fundamental, ele é \lim_{x\rightarrow 0} \frac{senx}{x} = 1 e não \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x}{sen x} (se observar a definição do limite trigonométrico, verá como nesse caso a função não tende a 1). E então como é isso?

Até a próxima.


Realmente, quando calculei esse limite

\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right)

subentendi, que ele daria 1. Observe:

Vamos pensar assim: se t\rightarrow0, então \pi t\rightarrow0, concorda? Aí ficamos com:

\lim_{t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen\pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left(\frac{\pi t}{sen \pi t} \right) = \lim_{\pi t\rightarrow0} \left[\frac{1}{\frac{sen \pi t}{\pi t}} \right] = \frac{1}{1} = 1.

Então, repare que eu não simplesmente "cortei" a indeterminação do nada, simplesmente, subentendi algumas passagens para o cálculo do limite que realmente é 1.
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Re: Cálculo de limites trigonométricos

Mensagempor Douglasm » Ter Abr 13, 2010 10:10

Não havia me atentado a isso! Realmente está correto. Então do seu jeito ficou bem mais objetivo. =)

Bons estudos e até a próxima.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D