[Funções]Plano Cartesiano

por **ti123** » Qui Out 08, 2020 09:36

No plano cartesiano abaixo, estão representadas as retas r, s, u e v, com r//s e u//v. A reta s corta o eixo das abscissas no ponto (2 , 0), assim como a reta v em (a , 0) e a reta u em (x , 0), em que 2 < a < x. P é o ponto de interseção entre as retas s e v e Q, entre as retas r e u. A reta PQ passa pela origem do plano cartesiano. O valor de x é:

Gabarito : $\frac{a^{2}}{2}$

Minha tentativa:
Considerando
b é onde r corta y
c é onde s corta y
d é onde u corta y
e é onde v corta y

Sendo m coeficiente angular das retas r e s
é chamando m' de coeficiente angular de u e v

m=-b/a b=-am
m= -c/2 c=-2m

m'=-d/x d=-xm'
m'=-e/a e=-am'

Ao fazer as equações da reta, [b=-am, c= -2m, d= -xm e e=-am], cheguei em :
x+(-am)
r = xm-am
Seguindo a lógica:
s= xm-2m
u = xm-xm
v = xm-am

Encontrei P=m(-2+a) e Q=m(x-a)

Travei aqui, além disso, suponho que esteja errado.
Alguém pode me ajudar?

por **DanielFerreira** » Seg Out 12, 2020 20:53

Olá ti123, seja bem vindo(a)!

Já que $\mathit{r \parallel s}$ e $\mathit{u \parallel v}$ , possivelmente, poderá obter a resposta utilizando os conceitos envolvendo Semelhança de triângulos.

por **DanielFerreira** » Dom Out 25, 2020 16:06

Ti123, trace a reta $\displaystyle \overleftrightarrow{\mathtt{PQ}}$ que passa pela origem. Por conseguinte, sejam $\displaystyle \mathtt{\lambda}$ e $\displaystyle \mathtt{\delta}$ as distâncias dos pontos $\displaystyle \mathtt{P}$ e $\displaystyle \mathtt{Q}$ ao eixo $\displaystyle \mathtt{Ox}$ , respectivamente. Isto posto, temos que $\displaystyle \boxed{\mathtt{\Delta OP2 \sim \Delta OQa}}$ .

Daí, $\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{\lambda}{2} = \frac{\delta}{a}}}$ e $\displaystyle \boxed{\mathtt{\frac{\lambda}{a} = \frac{\delta}{x}}}$ . Com efeito,

$\displaystyle \begin{cases} \displaystyle \mathtt{\frac{\lambda}{2} = \frac{\delta}{a} \Rightarrow \boxed{\boxed{\mathtt{\frac{\lambda}{\delta} = \frac{2}{a}}}}} \\ \displaystyle \mathtt{\frac{\lambda}{a} = \frac{\delta}{x} \Rightarrow \boxed{\boxed{\mathtt{\frac{\lambda}{\delta} = \frac{a}{x}}}}} \end{cases}$

Por fim, basta igualar a razão... Veja:

$\\ \displaystyle \mathtt{\frac{\lambda}{\delta} = \frac{\lambda}{\delta}} \\\\ \mathtt{\frac{2}{a} = \frac{a}{x}} \\\\ \mathtt{2x = a^2} \\\\ \boxed{\boxed{\boxed{\mathtt{x = \frac{a^2}{2}}}}}$

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