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Base ortogonal

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Mensagempor Danilo » Sáb Jun 11, 2016 22:57

Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de {R}^{4} ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?

Não sei como encontrar uma base ortogonal. Sei que para que dois vetores sejam ortogonais o produto interno entre eles deve ser zero. Mas não estou conseguindo usar essa informação para resolver o exercício. Grato quem puder ajudar.
Danilo
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Re: Base ortogonal

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 12, 2016 17:24

Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Seja W o espaço ortogonal de {R}^{4} ortogonal a u1 = (1,1,2,2) e u2 = (0,1,2,-1). Encontre uma base ortogonal e uma base ortonormal de W. Sei que se eu encontrar uma base ortogonal para encontrar uma base ortonormal é só normalizar, certo?


Olá Danilo, boa tarde!

Pensei no seguinte: no \mathbb{R}^2, a base canônica é formada por (1, 0), (0, 1); No \mathbb{R}^3, a base canônica é formada por (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Então no \mathbb{R}^4, a base deverá ser formada por u_1, u_2, u_3, u_4, desde que sejam L.I.

Encontremos u_3:

Seja u_3 = (a, b, c, d). Se a base é ortogonal, então u_3 \cdot u_2 = 0 e u_3 \cdot u_1 = 0. Desta condição chegamos em \begin{cases} a + b + 2c + 2d = 0 \\ b + 2c - d = 0 \end{cases}; como pode notar, trata-se de um sistema indeterminado (escolha uma solução).

Encontremos u_4:

Seja u_4 = (e, f, g, h). Se a base é ortogonal, então u_4 \cdot u_3 = 0, u_4 \cdot u_2 = 0 e u_4 \cdot u_1 = 0... (escolha uma solução).

Se u_1 e u_2 fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?
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Re: Base ortogonal

Mensagempor Danilo » Dom Jun 12, 2016 17:54

DanielFerreira escreveu:
Danilo escreveu:Pessoal, estou em dúvida no seguinte exercício

Encontremos u_3:


Se u_1 e u_2 fossem ortogonais, teríamos concluído o exercício; mas não são, e, para torná-los ortogonais podemos aplicar o Processo de Gram-Schmidt.

Conhece esse Processo?


Conheço! Mas não sei como aplicá-lo no exercício.
Danilo
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}