[Limites] Exercício

por **hugohggomes** » Qui Jun 09, 2016 21:13

Olá, Boa Noite à todos!

Estou precisando da ajuda para calcular o limite nessa questão :

$lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}$

Agradeço desde já! :-D

por **e8group** » Qui Jun 09, 2016 23:42

Buenas ... Olhe para o numerador com um pouco mais de atenção para ver o mesmo é precisamente $(\sqrt[3]{x} - 1)^2$ .

Para ilustrar o raciocínio , vejamos um caso familiar para fixar as idéias .. Escolha seu favorito number

.

Passo 0 - Sabemos que x^2 - a^2 = (x-a)(x+a)

. Podemos obter esta igualdade também pela divisão do polinômio x^2 -a^2

por

. Trocando

por $\sqrt{x}$ e

por $\sqrt{a}$ temos $((\sqrt{x})^2 -(\sqrt{a})^2 = (\sqrt{x} -\sqrt{a})(\sqrt{x} + \sqrt{a})$ . Observe que o primeiro membro fica x -a

e assim obtem-se a identidade $\frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{\sqrt{x} + \srqt{a}}$ .Evidentemente há formas mais diretas de obter esta identidade ,e.g. , multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de $\sqrt{x} - \sqrt{a}}$ , entretanto este raciocinio falha para o caso $\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}$ .

Passo 1 - Vc precisa saber fazer divisão de polinômios .. Fica difícil expor aqui o algoritmo .. Note que o quociente de x^3 -a^3

por

é

e o resto constante ; logo polinômio nulo ...Assim , x^3 - a^3 = (x-a)(x^2 + ax + a^2 )

.

Trocando

por $\sqrt[3]{x}$ e

por $\sqrt[3]{a}$ temos $((\sqrt[3]{x})^3 -(\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2 ))$ . Observe que o primeiro membro fica x -a

e assim obtem-se a identidade $\frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2}$

E o processo continuar ....

Passo 2 -
$x^4 - a^4 = (x-a)(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3) = (x-a)(\sum_{i=0}^{3} x^{3-i} a^i )$

$\frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}}{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{3} (\sqrt[4]{x})^{3-i} (\sqrt[4]{a})^i}$

(...)

Passo ( n -2)

$x^n - a^n = (x-a) \sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i$

$\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} }{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i }$

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