Questão com logaritimo

por **Donizetti Toledo** » Seg Fev 29, 2016 19:40

Eduardo tem atualmente uma dívida de R$ 6 300,00, que é resultado de um empréstimo de R$ 4 200,00, que não teve nenhum valor pago.

Como o empréstimo foi feito a juros compostos à taxa de 20% ao ano, e considerando que log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48, é CORRETO afirmar que o empréstimo foi feito aproximadamente há:
a - 2 anos
b - 2 anos e 3 meses
c - 2 anos e 6 meses
d - 3 anos.

Estou estudando para concurso e não consigo resolver esta questão sem o uso da calculadora.

por **DanielFerreira** » Sáb Mar 05, 2016 05:59

Dados do enunciado:

Montante (M): R$ 6.300,00
Capital (C): R$ 4.200,00
Taxa (i): 20% a.a
Prazo (n): ?

$\\ M = C(1 + i)^n \\\\ 6300 = 4200(1 + 0,20)^n \\\\ (1,2)^n = 1, 5$

Da definição de logaritmos, sabemos que: $\boxed{\log_a b = c \Rightarrow a^c = b}$ . Isto posto, temos que:

$\\ (1,2)^n = 1,5 \\\\ \log_{1,2} 1,5 = n \\\\\\ n = \frac{\log 1,5}{\log 1,2} \\\\\\ n = \frac{\log \left( \frac{15}{10}\right)}{\log \left(\frac{12}{10} \right)} \\\\\\ n = \frac{\log 15 - \log 10}{\log 12 - \log 10} \\\\\\ n = \frac{\log (3 \cdot 5) - \log 10}{\log (2^2 \cdot 3) - \log 10} \\\\\\ n = \frac{\log 3 + \log 5 - \log 10}{\log 2^2 + \log 3 - \log 10} \\\\\\ n = \frac{\log 3 + \log \left( \frac{10}{2} \right) - \log 10}{2 \cdot \log 2 + \log 3 - \log 10} \\\\\\ n = \frac{\log 3 + \cancel{\log 10} - \log 2 - \cancel{\log 10}}{2 \cdot \log 2 + \log 3 - \log 10} \\\\\\ n = \frac{0,48 - 0,3}{2 \cdot 0,3 + 0,48 - 1} \\\\\\ n = \frac{0,18}{0,18} \\\\\\ \boxed{\boxed{n = 2,25 \; \text{anos}}}$

Multiplicando 2,25 por 12 encontramos 27 meses. Ou seja, 2 anos e 3 meses!

por **LEIDIVAN** » Sex Mar 18, 2016 12:50

Oi.
Estou reaprendendo logaritmo e fiquei com uma dúvida no final da resolução desse exercício. Como que "n= 0,18/0,18" originou "2,25 anos"? O valor de n eu tenho que substituir em algum lugar pra dar 2,25? Se puder me responder ficarei grato.

por **DanielFerreira** » Sex Mar 18, 2016 23:44

LEIDIVAN escreveu:Oi.
Estou reaprendendo logaritmo e fiquei com uma dúvida no final da resolução desse exercício. Como que "n= 0,18/0,18" originou "2,25 anos"? O valor de n eu tenho que substituir em algum lugar pra dar 2,25? Se puder me responder ficarei grato.

Olá [b]Leidivan[/b], seja bem-vindo(a)!

Cometi um erro!! No lugar de 0,18 (denominador) devia ter colocado 0,08.