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[Limite] Limites infinitos envolvendo série

[Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 15:56

Não aprendi a usar ainda o editor de fórmulas por isso anexei o limite. Minha dúvida é como calcular limites infinitos envolvendo séries, agradeço antecipadamente
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 21:34

davifd_

Este limite parece ser bem simples. Me corrijam se eu estiver errado pessoal.

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3}

Como n tende ao infinito, tanto o numerador como o denominador tendem ao infinito dando uma Indefninição do tipo: \frac{\infty}{\infty}

Assim, vamos dividir todos os valores do numerador e também do denominador por: n^2. Assim, no numerador, todos os valores com exceção do último tenderão para zero quando n tender para o infinito. O último tenderá para 1 ficando da seguinte forma:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1^2}{n^2} + \frac{2^2}{n^2} + \frac{3^2}{n^2} + ... +  + \frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^3}{n^2}} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0

\blacksquare
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 23:40

nakagumahissao

inicialmente eu pensei assim tb, porém a resposta desse limite é 1/3, tem que fazer alguma jogada com o limite da série
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 23:54

davifd_,


Então, como esse limite possui uma indefinição na fração, tentei por L'Hôpital também, mas o resultado é o mesmo! Apliquei duas vezes:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{3n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{6n} =  \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3n} = 0

Vou pensar mais um pouco e entro em contato em breve. Por um acaso, poderia me informar de onde tirou esse problema (livro, autor, página, volume, edição?) por favor?


Grato



Sandro
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Ter Ago 18, 2015 23:56

[quote="nakagumahissao"]

Esse problema foi de um concurso para fuzileiro naval, área de máquinas, é de engenharia ano 2014
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 00:27

davifd_,


Então davifd, coloquei esta sua questão no Mapple que é um software voltado para a matemática e cálculos científicos e o resultado foi esse que calculamos mesmo, ou seja, zero. Acredito que o gabarito esteja errado.

https://goo.gl/photos/iGei8WW8WsQ9ZLQu9

Acho que agora só aguardando outro professor passar por aqui para ajudar a sanar esta dúvida. Mas como já estou respondendo, acredito que outro professor não olhará este thread. Talvez se você postar novamente o problema para ter uma segunda opinião, quem sabe?


Grato


Sandro
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Qua Ago 19, 2015 00:57

[quote="nakagumahissao"]davifd_,


Opa, eu joguei no mathcad e deu 1/3, vc definiu errado a série eu acho... Tem que por x^2 e indo de x=1 até n o somatório
davifd_
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 00:58

Vou tentar aqui. Já retorno.
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 01:27

Realmente:

\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Utilizando esta identidade teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} =

= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\;\;\; [1]

Usando L'Hôpital duas vezes, tem-se:

\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+1) + 2(n+1)}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n + 3}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

Nossa! Essa foi difícil! heheheh - Acho que agora está certo! Desculpe pelo erro! Afinal, não somos infalíveis!


Para o caso de desejar saber:

http://www.9math.com/book/sum-squares-f ... al-numbers
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor davifd_ » Qua Ago 19, 2015 07:12

nakagumahissao

Obrigado! Com a identidade saiu fácil, o problema é decorar pra prova ne? hahahah
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Re: [Limite] Limites infinitos envolvendo série

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 19, 2015 09:17

Verdade! Bons estudos
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?