Problema de função

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 00:11

A grande demanda de um novo modelo de equipamento digital provocou inicialmente um aumento em seu preço de mercado. No
entanto, depois de algum tempo, o lançamento por outros fabricantes de aparelhos similares, provocou uma queda nesses preços.
Observando?se a variação no preço, ano a ano, concluiu-se que ele poderia ser modelado através da função f(x)=2000.5^(2x-x²)/4, em que f(0) representa o preço de mercado no ano de lançamento do aparelho e f(x), para x > 0, representa o preço de mercado, x anos
após o lançamento do aparelho.
Sabendo que a partir de determinado ano t o preço do referido aparelho será inferior à metade do preço de lançamento e considerando
log 2 = 0,3, determine o valor de t.

por **nakagumahissao** » Qua Jul 15, 2015 10:53

O enunciado diz que f(0) é o preço de mercado no ano de Lançamento e que após t anos, f(t) = (1/2)f(0). Assim:

$f(t) = \frac{1}{2}f(0)$

$f(x) = 2000 \times {5}^{\frac{2x-x^2}{4}}$

$f(x) = 2000 \times {5}^{\frac{2x-x^2}{4}} \Rightarrow f(0) = 2000 \times {5}^{\frac{2 \times 0-0^2}{4}} \Rightarrow$

$\Rightarrow f(0) = 2000 \times {5}^{\frac{0}{4}} \Rightarrow f(0) = 2000 \times {5}^{0} \Rightarrow f(0) = 2000$

Sabendo-se que o preço de mercado no ano de Lançamento é de 2000, então, após t anos teremos que:

$f(t) = \frac{1}{2}f(0) = \frac{2000}{2} \Rightarrow$

$\Rightarrow f(t) = 1000$

Agora:

$f(x) = 2000 \times {5}^{\frac{2x-x^2}{4}} \Rightarrow f(t) = 2000 \times {5}^{\frac{2t-t^2}{4}} = 1000$

Então:

${5}^{\frac{2t-t^2}{4}} = \frac{1000}{2000} = \frac{1}{2}$

$\log {5}^{\frac{2t-t^2}{4}} = \log \frac{1}{2} = \log 1 - \log 2 = 0 - \log 2$

$\log {5}^{\frac{2t-t^2}{4}} = - \log 2 \Rightarrow \frac{2t-t^2}{4} \log 5 = - \log 2 \Rightarrow 2t- t^2 = -4 \frac{\log 2}{\log 5}$

Não foi dado o Log 5. Assumirei Log 5 = 0,7. Assim:

$2t- t^2 = -4 \frac{0,3}{0,7} \Rightarrow 2t- t^2 = -1,71 \Rightarrow$

$\Rightarrow - t^2 + 2t + 1,71 = 0 \Rightarrow$

$\sqrt[]{\Delta} = \sqrt[]{b^2 - 4ac} \Rightarrow \sqrt[]{\Delta} = \sqrt[]{4 + 6,84} \Rightarrow \sqrt[]{\Delta} = 3,29$

$\Rightarrow t = \frac{-b \pm \sqrt[]{\Delta}}{2a} \Rightarrow t = \frac{-2 \pm 3,29}{-2} \Rightarrow$

$\Rightarrow t = -0,645$

e

Porém, estamos apenas interessados nos valores positivos para o tempo e desta maneira, a resposta será:

t = 2,645 anos aproximadamente. Ou seja, aproximadamente 2 anos,

$0,645 \timex 12 = 7,74$

7 Meses,

$0,74 \times 30 = 22,2$

22 dias e algumas horas.

t = 2,645 = 2 anos, 7 meses, 22 dias.

$\blacksquare$

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 11:01

Cara! como você chegou a esse nível de resolução?! eu também queria saber quanto tempo a pessoa demora mais ou menos para fazer essa questão.Visto que, tendo uma boa base.

Obrigado!

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